গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   খুঁটির উচ্চতা $= 5$ মিটার এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য $= 5\sqrt{3}$ মিটার। সূর্যের উন্নতি কোণ $\theta$ হলে $\tan\theta = \dfrac{5}{5\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$।
   অতএব, সূর্যের উন্নতি কোণ $\mathbf{30^\circ}$।

2. খ)

   বর্ণনা: দেয়াল $AB$ ভূমির উপর লম্ব, মই $AC$ দেয়ালের ছাদ $A$ থেকে ভূমির $C$ বিন্দু পর্যন্ত। তাহলে $\triangle ABC$ সমকোণী, যেখানে $\angle B = 90^\circ$, অতিভুজ $AC = 16$ মিটার এবং $\angle ACB = 60^\circ$।

   চিত্র: $B$ বিন্দুতে সমকোণ, $BC$ ভূমি, $AB$ দেয়াল, $AC$ মই এবং $C$ কোণে $60^\circ$।

   দেয়ালের উচ্চতা $AB$ হলে $\sin 60^\circ = \dfrac{AB}{AC}$
   বা $AB = 16\sin 60^\circ = 16\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \approx 13.86$
   অতএব, দেয়ালটির উচ্চতা $\mathbf{8\sqrt{3}}$ মিটার (প্রায় ১৩.৮৬ মিটার)।

3. গ)

   মইয়ের দৈর্ঘ্য অপরিবর্তিত ($16$ মিটার) ধরি।
   $60^\circ$ কোণে মইয়ের গোড়া দেয়াল থেকে দূরে: $BC = 16\cos 60^\circ = 16\times\dfrac{1}{2} = 8$ মিটার।
   $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করলে গোড়া দেয়াল থেকে দূরে: $BC' = 16\cos 45^\circ = 16\times\dfrac{1}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$ মিটার।
   সরাতে হবে $= 8\sqrt{2} - 8 = 8(\sqrt{2}-1) = 8(1.414 - 1) \approx 3.31$ মিটার।
   অতএব, মইটিকে আরও প্রায় ৩.৩১ মিটার (অর্থাৎ $8(\sqrt{2}-1)$ মিটার) সরাতে হবে।