পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটর ডেল (∇⃗) এর ক্রস গুণনকে ওই ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (Curl) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর ∇⃗ এবং একটি ব্যবকলনযোগ্য ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗ এর ডট গুণফলকে ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স বলা হয়, অর্থাৎ div V⃗ = ∇⃗ ⋅ V⃗। যেহেতু দুটি ভেক্টরের ডট বা স্কেলার গুণনের ফলাফল সর্বদা একটি স্কেলার রাশি হয় এবং এর কোনো নির্দিষ্ট দিক থাকে না (কেবলমাত্র মান থাকে), তাই ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   মূলবিন্দু O(0, 0, 0)
   M বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 2, -1) এবং N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (6, -3, 2)

   অতএব, অবস্থান ভেক্টরদ্বয়:
   OM⃗ = 2î + 2ĵ - k̂
   ON⃗ = 6î - 3ĵ + 2k̂

   ON⃗ ভেক্টরের মান, |ON⃗| = √(6² + (-3)² + 2²) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

   OM⃗ ও ON⃗ এর ডট গুণন:
   OM⃗ ⋅ ON⃗ = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2)
   = 12 - 6 - 2
   = 4

   ON⃗ এর উপর OM⃗ এর লম্ব-অভিক্ষেপ:
   = (OM⃗ ⋅ ON⃗) / |ON⃗|
   = 4 / 7 একক।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   OM⃗ = 2î + 2ĵ - k̂
   ON⃗ = 6î - 3ĵ + 2k̂

   MN⃗ ভেক্টর = ON⃗ - OM⃗
   = (6î - 3ĵ + 2k̂) - (2î + 2ĵ - k̂)
   = 4î - 5ĵ + 3k̂

   ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের বর্গ নির্ণয় করি:
   OM² = |OM⃗|² = 2² + 2² + (-1)² = 4 + 4 + 1 = 9
   ON² = |ON⃗|² = 6² + (-3)² + 2² = 36 + 9 + 4 = 49
   MN² = |MN⃗|² = 4² + (-5)² + 3² = 16 + 25 + 9 = 50

   এখন দেখা যাচ্ছে,
   OM² + ON² = 9 + 49 = 58
   কিন্তু MN² = 50
   যেহেতু OM² + ON² ≠ MN²,
   আবার,
   OM² + MN² = 9 + 50 = 59 ≠ ON² (49)
   ON² + MN² = 49 + 50 = 99 ≠ OM² (9)

   অর্থাৎ, ত্রিভুজটির যেকোনো দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর বর্গের সমান নয় (পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রযোজ্য হয় না)। এছাড়াও ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন OM⃗⋅ON⃗ = 4 ≠ 0, OM⃗⋅MN⃗ = 2(4)+2(-5)+(-1)(3) = 8-10-3 = -5 ≠ 0, এবং ON⃗⋅MN⃗ = 6(4)+(-3)(-5)+2(3) = 24+15+6 = 45 ≠ 0 হওয়ায় কোনো বাহু পরস্পর লম্ব নয়।

   অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে বলা যায় যে, △OMN একটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।