উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: x² − 2mx + 8m − 15 = 0

   সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি এর নিশ্চায়ক (D) শূন্য হয়।
   অতএব,
   D = (−2m)² − 4 · 1 · (8m − 15) = 0
   বা, 4m² − 32m + 60 = 0
   বা, m² − 8m + 15 = 0 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে]
   বা, m² − 5m − 3m + 15 = 0
   বা, (m − 5)(m − 3) = 0

   সুতরাং, m = 3 অথবা m = 5।
   নির্ণেয় মান: m = 3, 5।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক মতে, x² + px + q = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় u এবং v।
   সুতরাং,
   u + v = −p
   uv = q

   এখন, 1/u এবং 1/v মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে:
   x² − (1/u + 1/v)x + (1/u)(1/v) = 0
   বা, x² − [(u + v) / (uv)]x + 1/(uv) = 0

   u + v ও uv এর মান বসিয়ে পাই:
   x² − (−p / q)x + 1/q = 0
   বা, x² + (p/q)x + 1/q = 0

   উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে পাই:
   qx² + px + 1 = 0

   অতএব, qx² + px + 1 = 0 এর মূলদ্বয় 1/u এবং 1/v। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণ: 2x³ − 9x² + 14x − 5 = 0
   যেহেতু সহগগুলো বাস্তব সংখ্যা এবং এর একটি মূল 2 − i, তাই অপর একটি জটিল মূল হবে এর অনুবন্ধী, অর্থাৎ 2 + i।

   ধরি, সমীকরণটির তৃতীয় (বাস্তব) মূলটি α।
   মূলগুলোর যোগফলের সম্পর্ক হতে,
   (2 − i) + (2 + i) + α = −(−9)/2
   বা, 4 + α = 9/2
   বা, α = 9/2 − 4 = 1/2

   অতএব, দ্বিতীয় সমীকরণের বাস্তব মূলটি হলো 1/2।

   এখন, বাস্তব মূল 1/2 এবং 1/4 মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
   মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/2 + 1/4 = 3/4
   মূলদ্বয়ের গুণফল = (1/2) × (1/4) = 1/8

   অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি:
   x² − (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0
   বা, x² − (3/4)x + 1/8 = 0

   উভয়পক্ষকে 8 দ্বারা গুণ করে পাই:
   8x² − 6x + 1 = 0

   উত্তর: 8x² − 6x + 1 = 0।