উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০১৭
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: MUJIBNAGARদৃশ্যকল্প-২: f^(x)=2x+73x−2;x∈R−{23} \hat{f}(\mathrm{x})=\frac{2 \mathrm{x}+7}{3 \mathrm{x}-2} ; \mathrm{x} \in \mathbb{R}-\left{\frac{2}{3}\right}
- ক)(1)
nC3=45×nC2 { }^{n} C_{3}=\frac{4}{5} \times{ }^{n} C_{2} হলে n n এর এর মান নির্ণয় কর।
- খ)(2)
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে না থাকে।
- গ)(3)
দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, f−1(x)=f(x) f^{-1}(x)=f(x) .
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,
ⁿC₃ = (4/5) × ⁿC₂বা, [n(n - 1)(n - 2)] / (3 × 2 × 1) = (4/5) × [n(n - 1)] / (2 × 1)
যেহেতু n ≥ 3, তাই উভয়পক্ষকে n(n - 1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(n - 2) / 6 = (4/5) × (1/2)
বা, (n - 2) / 6 = 2/5
বা, 5(n - 2) = 12
বা, 5n - 10 = 12
বা, 5n = 22
বা, n = 22/5যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হতে হবে, কিন্তু এখানে n পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই সমীকরণটি পুনঃপরীক্ষা করি:
যদি প্রশ্নটি nC3 = (4/5) × (n+1)C2 বা অনুরূপ কিছু হয়, তবে প্রদত্ত সমীকরণ:
ⁿC₃ = (4/5) × ⁿC₂ অনুযায়ী,
[n! / {3!(n-3)!}] = (4/5) × [n! / {2!(n-2)!}]
বা, 1 / [6] = (4/5) × [1 / {2(n-2)}]
বা, 1/6 = 2 / {5(n-2)}
বা, 5(n - 2) = 12
বা, 5n = 22 ⇒ n = 22/5।
(নোট: পাঠ্যবইয়ের প্রচলিত প্রশ্ন অনুসারে সমীকরণটিতে ⁿP বা অন্য মান থাকতে পারে, তবে প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান n = 22/5 বা 4.4)। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত শব্দটি: 'MUJIBNAGAR'
শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = ১০ টি
যার মধ্যে:
U = ১টি, I = ১টি, A = ২টি (মোট স্বরবর্ণ = ৪টি)
এবং ব্যঞ্জনবর্ণ = M, J, B, N, G, R (মোট ৬টি ব্যঞ্জনবর্ণ)।
বর্ণগুলোর মধ্যে কেবল A আছে ২টি।সবগুলো বর্ণ নিয়ে মোট সাজানো সংখ্যা = ১০! / ২! = ৩৬২৮৮০০ / ২ = ১৮,১৪,৪০০
এখন, ৪টি স্বরবর্ণকে (U, I, A, A) একত্রে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে মোট বর্ণ হয় (৬ + ১) = ৭টি।
এই ৭টি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = ৭! = ৫০৪০ উপায়ে।
আবার, ৪টি স্বরবর্ণের মধ্যে ২টি 'A' থাকায় তাদের নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = ৪! / ২! = ২৪ / ২ = ১২ উপায়ে।স্বরবর্ণগুলোকে সর্বদা একত্রে রেখে সাজানোর সংখ্যা = ৫০৪০ × ১২ = ৬০,৪৮০
অতএব, স্বরবর্ণগুলো একত্রে না রেখে শব্দটিকে সাজানো যায়:
= ১৮,১৪,৪০০ - ৬০,৪৮০
= ১৭,৫৩,৯২০ উপায়ে।উত্তর: ১৭,৫৩,৯২০
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রদত্ত ফাংশন:
f(x) = (2x + 7) / (3x - 2)ধরি, y = f(x)
তাহলে, x = f⁻¹(y)বা, y = (2x + 7) / (3x - 2)
বা, y(3x - 2) = 2x + 7
বা, 3xy - 2y = 2x + 7
বা, 3xy - 2x = 2y + 7
বা, x(3y - 2) = 2y + 7
বা, x = (2y + 7) / (3y - 2)যেহেতু x = f⁻¹(y), সুতরাং:
f⁻¹(y) = (2y + 7) / (3y - 2)চলক পরিবর্তন করে y এর পরিবর্তে x বসিয়ে পাই,
f⁻¹(x) = (2x + 7) / (3x - 2)কিন্তু দেওয়া আছে, f(x) = (2x + 7) / (3x - 2)
অতএব, f⁻¹(x) = f(x) (দেখানো হলো)।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও