উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পোলার সমীকরণ:
   $r(1+\cos\theta) = 2$
   $\implies r + r\cos\theta = 2$
   আমরা জানি, $x = r\cos\theta$ এবং $r = \sqrt{x^2+y^2}$।
   $\implies \sqrt{x^2+y^2} + x = 2$
   $\implies \sqrt{x^2+y^2} = 2 - x$
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $x^2+y^2 = (2-x)^2$
   $\implies x^2+y^2 = 4 - 4x + x^2$
   $\implies y^2 + 4x - 4 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ: $y^2 + 4x - 4 = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়:
   $3x - 4y + 7 = 0 \quad \text{--- (i)}$
   $4x - 3y + 2 = 0 \quad \text{--- (ii)}$

   এখানে,
   $a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = 7$
   $a_2 = 4, b_2 = -3, c_2 = 2$

   এখন, $a_1a_2 + b_1b_2 = (3)(4) + (-4)(-3) = 12 + 12 = 24 > 0$
   যেহেতু $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$, তাই ধনাত্মক ($+$) চিহ্ন নিয়ে স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ পাওয়া যাবে।

   অতএব, স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   $\frac{3x - 4y + 7}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = +\frac{4x - 3y + 2}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$
   $\implies \frac{3x - 4y + 7}{5} = \frac{4x - 3y + 2}{5}$
   $\implies 3x - 4y + 7 = 4x - 3y + 2$
   $\implies x + y - 5 = 0$
   $\implies \frac{x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

   রেখাটি $x$-অক্ষকে $A(5, 0)$ এবং $y$-অক্ষকে $B(0, 5)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   সুতরাং, রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল:
   $\Delta OAB = \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ বর্গ একক।}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র অনুযায়ী:
   ১. বৃত্তটি $y$-অক্ষকে $(0, -2)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।
   ২. বৃত্তটি দ্বারা $x$-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য $6$ একক।
   ৩. বৃত্তটির কেন্দ্র চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত।

   ধরি, বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$

   যেহেতু বৃত্তটি $y$-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই $c = f^2$।
   আবার, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, -2)$, অতএব:
   $-f = -2 \implies f = 2$
   $\therefore c = f^2 = 2^2 = 4$

   আবার, $x$-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য $= 2\sqrt{g^2 - c} = 6$
   $\implies \sqrt{g^2 - 4} = 3$
   $\implies g^2 - 4 = 9$
   $\implies g^2 = 13$
   $\implies g = \pm \sqrt{13}$

   চিত্রানুযায়ী বৃত্তটির কেন্দ্র চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত হওয়ায় কেন্দ্রের ভুজ $-g > 0$, অর্থাৎ $g < 0$।
   অতএব, $g = -\sqrt{13}$।

   সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 2\sqrt{13}x + 4y + 4 = 0$