গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $1^3+2^3+3^3+\cdots+15^3=\left\{\dfrac{15(15+1)}{2}\right\}^2=(120)^2=\mathbf{14400}$।

2. খ)

   ধারাটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a=5$ এবং সাধারণ অন্তর $d=7-5=2$।

   প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $S_n=\dfrac n2\{2a+(n-1)d\}=\dfrac n2\{10+2(n-1)\}=n(n+4)$

   শর্তমতে, $n(n+4)=165$

   বা, $n^2+4n-165=0$

   বা, $(n+15)(n-11)=0$

   $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই $n=\mathbf{11}$।

3. গ)

   ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$।

   শর্তমতে, $ar^2=\dfrac1{\sqrt3}$ ...(i) এবং $ar^9=\dfrac1{81}$ ...(ii)

   (ii) $\div$ (i): $r^7=\dfrac{\sqrt3}{81}=3^{\frac12-4}=3^{-\frac72}$

   অতএব $r=3^{-\frac12}=\dfrac1{\sqrt3}$

   (i) থেকে, $a\cdot\dfrac13=\dfrac1{\sqrt3}$, তাই $a=\dfrac3{\sqrt3}=\sqrt3$

   সুতরাং, ধারাটি: $\sqrt3+1+\dfrac1{\sqrt3}+\dfrac13+\cdots$।

   (যাচাই: ১০ম পদ $=\sqrt3\left(3^{-\frac12}\right)^9=3^{\frac12-\frac92}=3^{-4}=\dfrac1{81}$ ✓)