গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারাটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 5$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 8 - 5 = 3$।

   ধরি, $n$ তম পদ $= 383$।

   $a + (n-1)d = 383$

   বা, $5 + (n-1) \times 3 = 383$

   বা, $3(n-1) = 378$

   বা, $n - 1 = 126$

   বা, $n = 127$

   অতএব, ধারাটির ১২৭তম পদ ৩৮৩।

2. খ)

   ধারাটি গুণোত্তর ধারা: $7, p, q, s, 16807$। এর পদসংখ্যা ৫, প্রথম পদ $a = 7$। ধরি সাধারণ অনুপাত $r$।

   ৫ম পদ $= ar^4 = 16807$

   বা, $7r^4 = 16807$

   বা, $r^4 = 2401 = 7^4$

   বা, $r = 7$ (ধনাত্মক অনুপাত নিয়ে)

   তাহলে, $p = 7 \times 7 = 49$

   $q = 49 \times 7 = 343$

   $s = 343 \times 7 = 2401$

   অতএব, $p = 49$, $q = 343$, $s = 2401$ এবং সম্পূর্ণ ধারাটি: $7 + 49 + 343 + 2401 + 16807$।

3. গ)

   দৃশ্যকল্প (ii): $7 + 12 + 17 + \ldots$ সমান্তর ধারা, যার $a = 7$, $d = 12 - 7 = 5$।

   $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$

   শর্তমতে, $\dfrac{n}{2}\{14 + 5(n-1)\} = 1090$

   বা, $n(5n + 9) = 2180$

   বা, $5n^2 + 9n - 2180 = 0$

   বা, $5n^2 - 100n + 109n - 2180 = 0$

   বা, $5n(n - 20) + 109(n - 20) = 0$

   বা, $(n - 20)(5n + 109) = 0$

   $n = 20$ অথবা $n = -\dfrac{109}{5}$

   পদসংখ্যা ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না। অতএব, $n = 20$।