উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

ব্যাসার্ধ OC=6.5 cmO C=6.5 \mathrm{~cm} ও BC=5 cmB C=5 \mathrm{~cm}

  1. ক)

    tan⁡x=34,cos⁡x\tan x=\frac{3}{4}, \cos x ধনাত্মক হলে, sin⁡x\sin x এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপকের △ABC\triangle A B C এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, sin⁡2A−sin⁡2B+sin⁡2C=0\sin ^2 A-\sin ^2 B+\sin ^2 C=0

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, tan⁡x=34\tan x = \frac{3}{4} এবং cos⁡x\cos x ধনাত্মক।
    আমরা জানি,
    sec⁡2x=1+tan⁡2x=1+(34)2=1+916=2516\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}
    ∴sec⁡x=2516=54\therefore \sec x = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} [যেহেতু cos⁡x\cos x ধনাত্মক, তাই sec⁡x\sec x ধনাত্মক]
    ∴cos⁡x=1sec⁡x=45\therefore \cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{4}{5}

    এখন,
    sin⁡x=tan⁡x⋅cos⁡x=34×45=35\sin x = \tan x \cdot \cos x = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}

    নির্ণেয় মান: 35\frac{3}{5}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের চিত্রে OO কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ACAC হলো বৃত্তের ব্যাস।
    অতএব, ∠ABC\angle ABC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    আমরা জানি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ বা 90∘90^\circ।
    ∴∠B=90∘\therefore \angle B = 90^\circ

    যেহেতু △ABC\triangle ABC-এ তিনটি কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ,
    A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ
    ⇒A+90∘+C=180∘\Rightarrow A + 90^\circ + C = 180^\circ
    ⇒A+C=90∘\Rightarrow A + C = 90^\circ
    ⇒C=90∘−A\Rightarrow C = 90^\circ - A

    বামপক্ষ =sin⁡2A−sin⁡2B+sin⁡2C= \sin^2 A - \sin^2 B + \sin^2 C
    =sin⁡2A−sin⁡290∘+sin⁡2(90∘−A)= \sin^2 A - \sin^2 90^\circ + \sin^2(90^\circ - A)
    =sin⁡2A−(1)2+cos⁡2A= \sin^2 A - (1)^2 + \cos^2 A
    =(sin⁡2A+cos⁡2A)−1= (\sin^2 A + \cos^2 A) - 1
    =1−1= 1 - 1
    =0= 0
    =ডানপক্ষ= \text{ডানপক্ষ}

    ∴sin⁡2A−sin⁡2B+sin⁡2C=0\therefore \sin^2 A - \sin^2 B + \sin^2 C = 0 (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r=OC=6.5 cmr = OC = 6.5\text{ cm}
    ∴\therefore ব্যাস, AC=2×6.5=13 cmAC = 2 \times 6.5 = 13\text{ cm}
    এবং BC=5 cmBC = 5\text{ cm}

    যেহেতু ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ, তাই △ABC\triangle ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
    পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
    AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2
    ⇒AB2=AC2−BC2\Rightarrow AB^2 = AC^2 - BC^2
    ⇒AB2=132−52=169−25=144\Rightarrow AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144
    ∴AB=144=12 cm\therefore AB = \sqrt{144} = 12\text{ cm}

    △ABC\triangle ABC-এর ক্ষেত্রফল =12×ভূমি×উচ্চতা= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}
    =12×BC×AB= \frac{1}{2} \times BC \times AB
    =12×5×12=30 cm2= \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\text{ cm}^2

    ব্যাস ACAC দ্বারা গঠিত অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল =12πr2= \frac{1}{2} \pi r^2
    =12×3.1416×(6.5)2= \frac{1}{2} \times 3.1416 \times (6.5)^2
    =12×3.1416×42.25= \frac{1}{2} \times 3.1416 \times 42.25
    ≈66.365 cm2\approx 66.365\text{ cm}^2

    চিত্রানুযায়ী, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল == অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল −- △ABC\triangle ABC-এর ক্ষেত্রফল
    =(66.365−30) cm2= (66.365 - 30)\text{ cm}^2
    =36.365 cm2= 36.365\text{ cm}^2 (প্রায়)

    উত্তর: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল প্রায় 36.365 cm236.365\text{ cm}^2 বা 36.37 cm236.37\text{ cm}^2।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন