উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: 3x2−7x+2=0 \quad 3 x^{2}-7 x+2=0 সমীকরণের মূলদ্ধয় α,β \alpha, \beta .

  1. ক)

    e2x+5ex+3=0 e^{2 x}+5 e^{x}+3=0 সমীকরণের মূলদ্ধ x1 ও x2 x_{1} ও x_{2} হলে দেখাও যে, x1+x2−ln⁡3 x_{1}+x_{2}-\ln 3 .

    (2)
  2. খ)

    2x2+14x+12=0 2 x^{2}+14 x+12=0 সমীকরণের মূল দুটি α \alpha ও β \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

    (4)
  3. গ)

    (2+α+α2)(2+β+β2) \left(2+\alpha+\alpha^{2}\right)\left(2+\beta+\beta^{2}\right) এর মান নির্ণায় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: e2x+5ex+3=0e^{2x} + 5e^x + 3 = 0
    বা, (ex)2+5(ex)+3=0(e^x)^2 + 5(e^x) + 3 = 0
    এটি exe^x এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
    যেহেতু মূলদ্বয় x1x_1 ও x2x_2, সুতরাং exe^x এর মূলদ্বয় হবে ex1e^{x_1} এবং ex2e^{x_2}।
    মূলদ্বয়ের গুণফল:
    ex1⋅ex2=31=3e^{x_1} \cdot e^{x_2} = \frac{3}{1} = 3
    বা, ex1+x2=3e^{x_1+x_2} = 3
    উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম (ln⁡\ln) নিয়ে পাই,
    x1+x2=ln⁡3x_1 + x_2 = \ln 3
    ∴x1+x2−ln⁡3=0\therefore x_1 + x_2 - \ln 3 = 0 (দেখানো হলো)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের সমীকরণ:
    3x2−7x+2=03x^2 - 7x + 2 = 0
    বা, 3x2−6x−x+2=03x^2 - 6x - x + 2 = 0
    বা, 3x(x−2)−1(x−2)=03x(x - 2) - 1(x - 2) = 0
    বা, (x−2)(3x−1)=0(x - 2)(3x - 1) = 0
    ∴x=2,13\therefore x = 2, \frac{1}{3}
    যেহেতু সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta, সুতরাং ধরি α=2\alpha = 2 এবং β=13\beta = \frac{1}{3} (অথবা α=13,β=2\alpha = \frac{1}{3}, \beta = 2)।

    এখন, দ্বিতীয় সমীকরণ:
    2x2+14x+12=02x^2 + 14x + 12 = 0
    বা, x2+7x+6=0x^2 + 7x + 6 = 0
    বা, (x+1)(x+6)=0(x + 1)(x + 6) = 0
    ∴x=−1,−6\therefore x = -1, -6

    মূল দুটিকে α\alpha ও β\beta এর মাধ্যমে প্রকাশ করি:
    প্রথম মূল, −1=−(2)⋅12-1 = -(2) \cdot \frac{1}{2} বা −(3β)=−3β-(3\beta) = -3\beta অথবা −α/2-\alpha/2 (যেহেতু αβ=2/3\alpha\beta = 2/3, তাই −1=−32αβ-1 = -\frac{3}{2}\alpha\beta বা −1=−3β-1 = -3\beta ইত্যাদি)।
    সহজভাবে:
    −1=1−2=1β−2α-1 = 1 - 2 = \frac{1}{\beta} - 2\alpha ইত্যাদি কিংবা:
    −1=−(α+3β−2)=−α2=−3β-1 = -(\alpha + 3\beta - 2) = -\frac{\alpha}{2} = -3\beta
    এবং দ্বিতীয় মূল, −6=−3×2=−3α=−2β-6 = -3 \times 2 = -3\alpha = -\frac{2}{\beta}।
    সাধারণভাবে, α\alpha ও β\beta এর সাপেক্ষে মূল দুটি হলো −3β-3\beta এবং −3α-3\alpha (অথবা −2β-\frac{2}{\beta} ও −α2-\frac{\alpha}{2})।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক অনুসারে, 3x2−7x+2=03x^2 - 7x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta।
    ∴α+β=73\therefore \alpha + \beta = \frac{7}{3} এবং αβ=23\alpha\beta = \frac{2}{3}

    যেহেতু α\alpha ও β\beta সমীকরণটির মূল:
    3α2−7α+2=0  ⟹  α2=7α−233\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0 \implies \alpha^2 = \frac{7\alpha - 2}{3}
    3β2−7β+2=0  ⟹  β2=7β−233\beta^2 - 7\beta + 2 = 0 \implies \beta^2 = \frac{7\beta - 2}{3}

    এখন,
    2+α+α2=2+α+7α−23=6+3α+7α−23=10α+43=2(5α+2)32 + \alpha + \alpha^2 = 2 + \alpha + \frac{7\alpha - 2}{3} = \frac{6 + 3\alpha + 7\alpha - 2}{3} = \frac{10\alpha + 4}{3} = \frac{2(5\alpha + 2)}{3}
    অনুরূপভাবে,
    2+β+β2=2(5β+2)32 + \beta + \beta^2 = \frac{2(5\beta + 2)}{3}

    প্রদত্ত রাশি:
    (2+α+α2)(2+β+β2)=49(5α+2)(5β+2)(2 + \alpha + \alpha^2)(2 + \beta + \beta^2) = \frac{4}{9}(5\alpha + 2)(5\beta + 2)
    =49[25αβ+10(α+β)+4]= \frac{4}{9} [25\alpha\beta + 10(\alpha + \beta) + 4]

    এখন মান বসিয়ে পাই:
    =49[25(23)+10(73)+4]= \frac{4}{9} \left[ 25 \left(\frac{2}{3}\right) + 10 \left(\frac{7}{3}\right) + 4 \right]
    =49[503+703+4]= \frac{4}{9} \left[ \frac{50}{3} + \frac{70}{3} + 4 \right]
    =49[1203+4]= \frac{4}{9} \left[ \frac{120}{3} + 4 \right]
    =49[40+4]=49×44=1769= \frac{4}{9} [40 + 4] = \frac{4}{9} \times 44 = \frac{176}{9}

    ∴\therefore নির্ণেয় মান =1769= \frac{176}{9}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন