cosec⁡2C=a,cot⁡2C=b এবং cos⁡θ=p cosec 2 C=a, cot 2 C=b …

গণিত • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২২

cosec⁡2C=a,cot⁡2C=b এবং cos⁡θ=p \operatorname{cosec} 2 C=a, \cot 2 C=b \text { এবং } \cos \theta=p

ক)
cos⁡2θ−sin⁡2θ=56 \cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=\frac{5}{6} হলে, cos⁡4θ−sin⁡4θ \cos ^{4} \theta-\sin ^{4} \theta এর মান নির্ণয় কর।
(1)
খ)
a+ba−b=2+32−3 \frac{a+b}{a-b}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} रলে, C এর মান নির্ণয় কর।
(2)
গ)
4p2−(2+23)p+3=0 4 \mathrm{p}^{2}-(2+2 \sqrt{3}) \mathrm{p}+\sqrt{3}=0 হলে, θ \theta এর মান নির্ণয় কর, 0∘<θ<90∘ 0^{\circ}<\theta<90^{\circ}
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
$\cos^4\theta-\sin^4\theta=(\cos^2\theta+\sin^2\theta)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=1\times\dfrac56=\dfrac56$

উত্তর: $\dfrac56$
খ)
আমরা জানি $\operatorname{cosec}2C+\cot2C=\dfrac{1+\cos2C}{\sin2C}=\dfrac{2\cos^2C}{2\sin C\cos C}=\cot C$

এবং $\operatorname{cosec}2C-\cot2C=\dfrac{1-\cos2C}{\sin2C}=\dfrac{2\sin^2C}{2\sin C\cos C}=\tan C$

$\therefore\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{\cot C}{\tan C}=\cot^2C$

শর্তমতে, $\cot^2C=\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}=\dfrac{(2+\sqrt3)^2}{4-3}=(2+\sqrt3)^2$

$\therefore\cot C=2+\sqrt3=\cot15^\circ$

উত্তর: $C=15^\circ$
গ)
$4p^2-(2+2\sqrt3)p+\sqrt3=0$

বা, $4p^2-2p-2\sqrt3p+\sqrt3=0$

বা, $2p(2p-1)-\sqrt3(2p-1)=0$

বা, $(2p-1)(2p-\sqrt3)=0$

হয় $2p-1=0$ , অর্থাৎ $p=\dfrac12$ ; অথবা $2p-\sqrt3=0$ , অর্থাৎ $p=\dfrac{\sqrt3}2$ ।

এখন $p=\cos\theta$ ।

$\cos\theta=\dfrac12=\cos60^\circ$ হলে $\theta=60^\circ$

$\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}2=\cos30^\circ$ হলে $\theta=30^\circ$

দুটি মানই $0^\circ<\theta<90^\circ$ শর্ত পূরণ করে।

উত্তর: $\theta=30^\circ$ অথবা $60^\circ$

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও