উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $3(x^2 + y^2) - 6x + 3y + 1 = 0$
   বা, $x^2 + y^2 - 2x + y + \frac{1}{3} = 0$

   এটিকে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $2g = -2 \implies g = -1$
   $2f = 1 \implies f = \frac{1}{2}$
   $c = \frac{1}{3}$

   অতএব, কেন্দ্র $(-g, -f) = \left(1, -\frac{1}{2}\right)$
   এবং ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{3}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{12 + 3 - 4}{12}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ... (১)
   বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g, -f)$।

   যেহেতু কেন্দ্র $2x - y = 3$ রেখার উপর অবস্থিত:
   $2(-g) - (-f) = 3 \implies -2g + f = 3$ ... (২)

   বৃত্তটি $(3, -2)$ বিন্দুগামী:
   $3^2 + (-2)^2 + 2g(3) + 2f(-2) + c = 0$
   $\implies 9 + 4 + 6g - 4f + c = 0$
   $\implies 6g - 4f + c + 13 = 0$ ... (৩)

   বৃত্তটি $(-2, 0)$ বিন্দুগামী:
   $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + c = 0$
   $\implies 4 - 4g + c = 0$
   $\implies c = 4g - 4$ ... (৪)

   (৪) নং থেকে $c$ এর মান (৩) নং এ বসিয়ে পাই:
   $6g - 4f + (4g - 4) + 13 = 0$
   $\implies 10g - 4f + 9 = 0$ ... (৫)

   (২) নং সমীকরণকে ৪ দ্বারা গুণ করে (৫) নং এর সাথে যোগ করে পাই:
   $4(-2g + f) + (10g - 4f) = 4(3) - 9$
   $\implies -8g + 4f + 10g - 4f = 12 - 9$
   $\implies 2g = 3 \implies g = \frac{3}{2}$

   (২) নং সমীকরণ হতে পাই:
   $f = 3 + 2g = 3 + 2\left(\frac{3}{2}\right) = 3 + 3 = 6$

   (৪) নং সমীকরণ হতে পাই:
   $c = 4\left(\frac{3}{2}\right) - 4 = 6 - 4 = 2$

   সুতরাং, বৃত্তটির সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2\left(\frac{3}{2}\right)x + 2(6)y + 2 = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + 3x + 12y + 2 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 8x - 16y - 8 = 0$
   এখানে, $2g = -8 \implies g = -4$
   $2f = -16 \implies f = -8$
   $c = -8$

   বৃত্তের কেন্দ্র $= (-g, -f) = (4, 8)$
   বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 - (-8)} = \sqrt{16 + 64 + 8} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$

   $5x - 12y - 9 = 0$ রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $5x - 12y + k = 0$ ... (১)

   (১) নং রেখাটি বৃত্তটির স্পর্শক হলে, বৃত্তের কেন্দ্র $(4, 8)$ থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
   অতএব, $\frac{|5(4) - 12(8) + k|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = 2\sqrt{22}$
   $\implies \frac{|20 - 96 + k|}{\sqrt{25 + 144}} = 2\sqrt{22}$
   $\implies \frac{|k - 76|}{13} = 2\sqrt{22}$
   $\implies |k - 76| = 26\sqrt{22}$
   $\implies k - 76 = \pm 26\sqrt{22}$
   $\implies k = 76 \pm 26\sqrt{22}$

   অতএব, স্পর্শকের সমীকরণ:
   $5x - 12y + 76 \pm 26\sqrt{22} = 0$