উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $I = \int \frac{dx}{\sqrt{3 - 5x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{5\left(\frac{3}{5} - x^2\right)}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{dx}{\sqrt{\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2 - x^2}}$

   আমরা জানি, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$

   সুতরাং,
   $I = \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3/5}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{3}}\right) + c$
   (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত, $f(x) = \frac{x + 3}{(x - 1)(x^2 + 5)}$

   আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:
   $\frac{x + 3}{(x - 1)(x^2 + 5)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 5}$
   $\Rightarrow x + 3 = A(x^2 + 5) + (Bx + C)(x - 1)$

   $x = 1$ বসিয়ে পাই:
   $1 + 3 = A(1 + 5) \Rightarrow 4 = 6A \Rightarrow A = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

   $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে:
   $0 = A + B \Rightarrow B = -A = -\frac{2}{3}$

   ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে:
   $3 = 5A - C \Rightarrow C = 5A - 3 = 5\left(\frac{2}{3}\right) - 3 = \frac{10}{3} - 3 = \frac{1}{3}$

   অতএব,
   $f(x) = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{-\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}}{x^2 + 5} = \frac{2}{3}\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{3}\frac{2x}{x^2 + 5} + \frac{1}{3}\frac{1}{x^2 + 5}$

   এখন যোগজীকরণ করে পাই:
   $\int f(x) dx = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{2x}{x^2 + 5} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 + (\sqrt{5})^2} dx$
   $= \frac{2}{3} \ln|x - 1| - \frac{1}{3} \ln(x^2 + 5) + \frac{1}{3\sqrt{5}} \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + c$ (যেখানে $c$ সমাকলন ধ্রুবক)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   $y^2 = 8x$ ... (1)
   $x - y = 0 \Rightarrow y = x$ ... (2)

   ছেদবিন্দু নির্ণয়:
   (2) নং হতে $y$-এর মান (1) এ বসিয়ে,
   $x^2 = 8x \Rightarrow x(x - 8) = 0$
   $\therefore x = 0, 8$

   $x = 0$ হলে $y = 0$ এবং $x = 8$ হলে $y = 8$
   সুতরাং ছেদবিন্দুদ্বয় $(0, 0)$ এবং $(8, 8)$।

   $x = 0$ থেকে $x = 8$ ব্যবধিতে পরাবৃত্তটি সরলরেখার উপরে অবস্থান করে (কারণ $x = 2$ হলে পরাবৃত্তের $y = 4$ এবং রেখার $y = 2$)।

   অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_0^8 (y_1 - y_2) dx = \int_0^8 (\sqrt{8x} - x) dx$
   $= \sqrt{8} \int_0^8 x^{1/2} dx - \int_0^8 x dx$
   $= 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^8 - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^8$
   $= 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ 8^{3/2} - 0 \right] - \frac{1}{2} [64 - 0]$
   $= \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (16\sqrt{2}) - 32$
   $= \frac{4\sqrt{2} \cdot 16\sqrt{2}}{3} - 32 = \frac{128}{3} - 32 = \frac{128 - 96}{3} = \frac{32}{3}$ বর্গ একক।