গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারাটি সমান্তর ধারা, যার $a=5$, $d=9-5=4$।

   $5+(n-1)\cdot4=353$

   বা, $4(n-1)=348$

   বা, $n-1=87$, তাই $n=88$।

   সুতরাং, ৮৮ তম পদ ৩৫৩।

2. খ)

   ধরি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$।

   শর্তমতে, $a+11d=58$ ...(i) এবং $a+17d=78$ ...(ii)

   (ii) $-$ (i): $6d=20$, তাই $d=\dfrac{10}3$

   (i) থেকে, $a=58-11\times\dfrac{10}3=\dfrac{174-110}3=\dfrac{64}3$

   $S_{15}=\dfrac{15}2\left\{2\times\dfrac{64}3+14\times\dfrac{10}3\right\}=\dfrac{15}2\times\dfrac{128+140}3=\dfrac{15}2\times\dfrac{268}3=5\times134=\mathbf{670}$।

3. গ)

   ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$।

   শর্তমতে, $ar^4=\dfrac1{32}$ ...(i) এবং $ar^7=\dfrac1{256}$ ...(ii)

   (ii) $\div$ (i): $r^3=\dfrac{32}{256}=\dfrac18=\left(\dfrac12\right)^3$, তাই $r=\dfrac12$

   (i) থেকে, $a\cdot\dfrac1{16}=\dfrac1{32}$, তাই $a=\dfrac12$

   সুতরাং, ধারাটি $\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\cdots$।