উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming)-এর দুটি সুবিধা নিম্নরূপ:
   ১. সীমিত সম্পদের সর্বোচ্চ সদ্ব্যবহার নিশ্চিত করে মুনাফা বৃদ্ধি বা খরচ সর্বনিম্ন করা যায়।
   ২. ব্যবসায়িক বা উৎপাদন সংক্রান্ত জটিল সমস্যাগুলোর সঠিক সিদ্ধান্ত গ্রহণে গাণিতিক ও বাস্তবসম্মত সমাধান প্রদান করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, দৈনিক $F_1$ খাদ্য গ্রহণ করতে হবে $x$ কেজি এবং $F_2$ খাদ্য গ্রহণ করতে হবে $y$ কেজি।

   যেহেতু খাদ্যের পরিমাণ ঋণাত্মক হতে পারে না, সেহেতু $x \ge 0, y \ge 0$।

   প্রতি কেজি $F_1$ ও $F_2$ এর মূল্য যথাক্রমে ৩ টাকা ও ৫ টাকা।
   সুতরাং মোট খরচ $Z = 3x + 5y$, যাকে সর্বনিম্ন করতে হবে।

   শর্তসমূহ:
   ১. ভিটামিন C এর ন্যূনতম চাহিদা ৬০ একক:
   $6x + 3y \ge 60 \Rightarrow 2x + y \ge 20$

   ২. ভিটামিন D এর ন্যূনতম চাহিদা ৫০ একক:
   $2x + 5y \ge 50$

   অতএব, নির্ণেয় যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হলো:
   সর্বনিম্নকরণ: $Z = 3x + 5y$
   শর্তসমূহ:
   $2x + y \ge 20$
   $2x + 5y \ge 50$
   এবং $x \ge 0, y \ge 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (খ) এ প্রাপ্ত অসমতাগুলোর অনুরূপ সমীকরণসমূহ:
   $2x + y = 20 \Rightarrow \frac{x}{10} + \frac{y}{20} = 1$ ... (i)
   $2x + 5y = 50 \Rightarrow \frac{x}{25} + \frac{y}{10} = 1$ ... (ii)
   $x = 0$ ($y$-অক্ষ) এবং $y = 0$ ($x$-অক্ষ)

   (i) ও (ii) সমীকরণ সমাধান করে ছেদবিন্দু নির্ণয় করি:
   (i) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
   $-4y = -30 \Rightarrow y = \frac{30}{4} = 7.5 = \frac{15}{2}$
   $y$ এর মান (i) নং-এ বসিয়ে পাই,
   $2x = 20 - 7.5 = 12.5 \Rightarrow x = 6.25 = \frac{25}{4}$
   সুতরাং সমীকরণদ্বয়ের ছেদবিন্দু $B\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)$ বা $(6.25, 7.5)$।

   প্রদত্ত অসমতাগুলোর অনুকূল অঞ্চল (Feasible region) হলো প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত একটি উন্মুক্ত অঞ্চল যার কৌণিক বিন্দুগুলো হলো:
   $A(0, 20)$
   $B(6.25, 7.5)$
   $C(25, 0)$

   কৌণিক বিন্দুগুলোতে অভিষ্ট অপেক্ষক $Z = 3x + 5y$ এর মান:
   ১. $A(0, 20)$ বিন্দুতে: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$
   ২. $B(6.25, 7.5)$ বিন্দুতে: $Z = 3(6.25) + 5(7.5) = 18.75 + 37.5 = 56.25$
   ৩. $C(25, 0)$ বিন্দুতে: $Z = 3(25) + 5(0) = 75$

   দেখা যাচ্ছে, $B(6.25, 7.5)$ বিন্দুতে $Z$ এর মান সর্বনিম্ন হয় এবং এর মান $56.25$।

   অতএব, দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ $56.25$ টাকা।