উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, প্রক্ষিপ্ত বস্তুর আদিবেগ $u = 36\text{ m/s}$ এবং প্রক্ষেপণ কোণ $\alpha = 60^\circ$।
   প্রাসের সর্বাধিক উচ্চতা:
   $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

   ধরি, খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর আদিবেগ $v$।
   খাড়া উপরে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা:
   $H' = \frac{v^2}{2g}$

   প্রশ্নমতে, $H' = H$
   $\Rightarrow \frac{v^2}{2g} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
   $\Rightarrow v^2 = u^2 \sin^2 \alpha$
   $\Rightarrow v = u \sin \alpha$
   $\Rightarrow v = 36 \times \sin 60^\circ = 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}\text{ m/s} \approx 31.18\text{ m/s}$।
   অতএব, বস্তুটিকে $18\sqrt{3}\text{ m/s}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করতে হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $l_1 = 500\text{ m}$ এবং $l_2 = 700\text{ m}$।
   পরস্পরকে অতিক্রম করতে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, $d = l_1 + l_2 = 500 + 700 = 1200\text{ m}$।
   অতিক্রান্ত সময়, $t = 15\text{ s}$।

   ধরি, ২য় ট্রেনের বেগ $v_2 = v\text{ m/s}$।
   তাহলে ১ম ট্রেনের বেগ $v_1 = 3v\text{ m/s}$।

   ট্রেন দুটি সমান্তরাল পথে বিপরীতমুখী হয়ে পরস্পরকে অতিক্রম করলে আপেক্ষিক বেগ:
   $v_{rel} = v_1 + v_2 = 3v + v = 4v$
   আমরা জানি, $d = v_{rel} \times t$
   $\Rightarrow 1200 = 4v \times 15$
   $\Rightarrow 60v = 1200$
   $\Rightarrow v = 20\text{ m/s}$

   অতএব, ১ম ট্রেনের বেগ:
   $v_1 = 3v = 3 \times 20 = 60\text{ m/s}$ (বা $60 \times \frac{18}{5} = 216\text{ km/h}$)।

   (উল্লেখ্য: যদি ট্রেন দুটি একই দিকে গতিশীল হয়, তবে $v_{rel} = 3v - v = 2v \Rightarrow 1200 = 2v \times 15 \Rightarrow v = 40\text{ m/s}$, সেক্ষেত্রে $v_1 = 120\text{ m/s}$)। সাধারণত 'পরস্পরকে অতিক্রম করে' কথাটি বিপরীতমুখী গতির ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, তাই ১ম ট্রেনের গতিবেগ $60\text{ m/s}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কণাটির আদিবেগ $u$ এবং সমত্বরণ $f$।
   $t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব:
   $S_t = u t + \frac{1}{2} f t^2$
   $\Rightarrow \frac{S_t}{t} = u + \frac{1}{2} f t$ ..... (i)

   $t$ সময়ে অর্জিত বেগ:
   $u_t = u + f t$ ..... (ii)

   (i) নং সমীকরণ হতে পাই:
   $\frac{S_{t+1}}{t+1} = u + \frac{1}{2} f (t+1)$
   $\frac{S_{t-1}}{t-1} = u + \frac{1}{2} f (t-1)$

   এখন বামপক্ষ:
   $\text{L.H.S.} = \frac{S_{t+1}}{t+1} - \frac{2S_{t}}{t} + \frac{S_{t-1}}{t-1}$
   $= \left[u + \frac{1}{2}f(t+1)\right] - 2\left[u + \frac{1}{2}ft\right] + \left[u + \frac{1}{2}f(t-1)\right]$
   $= u + \frac{1}{2}ft + \frac{1}{2}f - 2u - ft + u + \frac{1}{2}ft - \frac{1}{2}f$
   $= (u - 2u + u) + \left(\frac{1}{2}ft - ft + \frac{1}{2}ft\right) + \left(\frac{1}{2}f - \frac{1}{2}f\right)$
   $= 0 + 0 + 0 = 0$

   আবার ডানপক্ষ:
   $\text{R.H.S.} = u_{t+1} - 2u_t + u_{t-1}$
   (ii) নং সমীকরণ হতে:
   $u_{t+1} = u + f(t+1)$
   $u_t = u + ft$
   $u_{t-1} = u + f(t-1)$

   মান বসিয়ে পাই:
   $\text{R.H.S.} = [u + f(t+1)] - 2[u + ft] + [u + f(t-1)]$
   $= u + ft + f - 2u - 2ft + u + ft - f$
   $= (u - 2u + u) + (ft - 2ft + ft) + (f - f)$
   $= 0 + 0 + 0 = 0$

   যেহেতু $\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.} = 0$,
   সুতরাং,
   $\frac{S_{t+1}}{t+1} - \frac{2 S_{t}}{t} + \frac{S_{t-1}}{t-1} = u_{t+1} - 2 u_{t} + u_{t-1}$ (প্রমাণিত)।