| প্রশ্ন | উৎসাহ

গণিত • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২২

ক)
AC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
(1)
খ)
উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,(2−1cosec⁡2 A)−1+(2+1cot⁡2 A)−1=1 \left(2-\frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}}\right)^{-1}+\left(2+\frac{1}{\cot ^{2} \mathrm{~A}}\right)^{-1}=1
(2)
গ)
θ \theta কোণের সাপেক্ষে যদি 2(BCAC)2+3(ABAC)−3=0 2\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\right)^{2}+3\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\right)-3=0 হয়, তবে দেখাও যে, θ=60∘ \theta=60^{\circ}
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
চিত্রে সমকোণী $\triangle ABC$ এ $\angle B=90^\circ$ , $\angle C=30^\circ$ এবং $BC=\sqrt3$ ।

$\cos C=\dfrac{BC}{AC}$

বা, $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{AC}$

বা, $\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{AC}$

সুতরাং, $AC=\mathbf{2}$ একক।
খ)
এখানে $\dfrac1{\operatorname{cosec}^2A}=\sin^2A$ এবং $\dfrac1{\cot^2A}=\tan^2A$ ।

বামপক্ষ $=(2-\sin^2A)^{-1}+(2+\tan^2A)^{-1}$

$2-\sin^2A=1+(1-\sin^2A)=1+\cos^2A$

$2+\tan^2A=1+(1+\tan^2A)=1+\sec^2A=\dfrac{\cos^2A+1}{\cos^2A}$

সুতরাং বামপক্ষ $=\dfrac1{1+\cos^2A}+\dfrac{\cos^2A}{1+\cos^2A}=\dfrac{1+\cos^2A}{1+\cos^2A}=1=$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

(যাচাই: $A=60^\circ$ হলে $\left(2-\frac34\right)^{-1}+(2+3)^{-1}=\frac45+\frac15=1$ ✓)
গ)
চিত্রে $\theta$ কোণের সাপেক্ষে $BC$ বিপরীত বাহু, $AB$ সন্নিহিত বাহু এবং $AC$ অতিভুজ। তাই $\dfrac{BC}{AC}=\sin\theta$ এবং $\dfrac{AB}{AC}=\cos\theta$ ।

শর্তমতে, $2\sin^2\theta+3\cos\theta-3=0$

বা, $2(1-\cos^2\theta)+3\cos\theta-3=0$

বা, $2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$

বা, $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$

$\therefore\cos\theta=\dfrac12$ অথবা $\cos\theta=1$

$\theta$ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ, তাই $\cos\theta=1$ ( $\theta=0^\circ$ ) গ্রহণযোগ্য নয়। সুতরাং $\cos\theta=\dfrac12=\cos60^\circ$ , অর্থাৎ $\theta=60^\circ$ । (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন