গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   পরিধি $= 2\pi r = 2 \times 3.1416 \times 3 \approx \mathbf{18.85}$ সে.মি. (অথবা $6\pi$ সে.মি.)।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা $AB = CD$ এবং $OF \perp AB$, $OE \perp CD$। প্রমাণ করতে হবে, $OE = OF$।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $AF = \frac{1}{2}AB$ এবং $CE = \frac{1}{2}CD$। যেহেতু $AB = CD$, তাই $AF = CE$।

   এখন $\triangle AOF$ ও $\triangle COE$ এ,
   $\angle AFO = \angle CEO = 90^\circ$
   কর্ণ $OA$ = কর্ণ $OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
   এবং $AF = CE$

   $\therefore \triangle AOF \cong \triangle COE$ (সমকোণী-অতিভুজ-বাহু)

   $\therefore OF = OE$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $\angle AOC$ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle ABC$ একই চাপ $AC$ এর উপর বৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে, $\angle AOC = 2\angle ABC$।

   প্রমাণ: চিত্রে $B, O, C$ একই সরলরেখায় ($BC$ ব্যাস)। $AO$ যোগ করি।

   $\triangle AOB$ এ $OA = OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
   $\therefore \angle OAB = \angle OBA$ ... (i)

   আবার, $\triangle AOB$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle AOC = \angle OAB + \angle OBA$ ... (ii)

   (i) ও (ii) থেকে, $\angle AOC = 2\angle OBA$

   কিন্তু $O$ বিন্দু $BC$ এর উপর থাকায় $\angle OBA = \angle ABC$।

   $\therefore \angle AOC = 2\angle ABC$ (প্রমাণিত)