গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   মিনারের উচ্চতা $=20$ মিটার, উন্নতি কোণ $30^\circ$। ধরি, ছায়ার দৈর্ঘ্য $x$ মিটার।

   $\tan30^\circ=\dfrac{20}x$

   বা, $\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{20}x$

   বা, $x=20\sqrt3$

   উত্তর: ছায়ার দৈর্ঘ্য $20\sqrt3$ মিটার, প্রায় $34.64$ মিটার

2. খ)

   ধরি, দণ্ডায়মান অংশ $AB=x$ মিটার, ভাঙা অংশ $BC=l$ মিটার এবং $C$ ভূমি স্পর্শ করেছে। $\angle ABC=30^\circ$ এবং $x+l=75$।

   $\triangle ABC$-এ সমকোণ $A$ বিন্দুতে। $\cos30^\circ=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac xl$

   বা, $x=\dfrac{\sqrt3}2l$

   $x+l=75$ থেকে, $\dfrac{\sqrt3}2l+l=75$

   বা, $l\cdot\dfrac{\sqrt3+2}2=75$

   বা, $l=\dfrac{150}{2+\sqrt3}=\dfrac{150(2-\sqrt3)}{4-3}=150(2-\sqrt3)=300-150\sqrt3$

   উত্তর: ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $150(2-\sqrt3)$ মিটার, প্রায় $40.19$ মিটার

3. গ)

   ধরি, বেলুন $A$ বিন্দুতে এবং ভূমি থেকে উচ্চতা $AH=h$ মিটার ($H$ হলো $PQ$-এর ওপর পাদবিন্দু)।

   $P$ থেকে অবনতি কোণ $30^\circ$, তাই $\angle APH=30^\circ$ এবং $PH=\dfrac h{\tan30^\circ}=\sqrt3h$।

   $Q$ থেকে অবনতি কোণ $60^\circ$, তাই $\angle AQH=60^\circ$ এবং $QH=\dfrac h{\tan60^\circ}=\dfrac h{\sqrt3}$।

   $PH+HQ=PQ$ থেকে, $\sqrt3h+\dfrac h{\sqrt3}=750$

   বা, $h\cdot\dfrac{3+1}{\sqrt3}=750$

   বা, $h=\dfrac{750\sqrt3}4=\dfrac{375\sqrt3}2$

   উত্তর: বেলুনের উচ্চতা $\dfrac{375\sqrt3}2$ মিটার, প্রায় $324.76$ মিটার