∫1/21dxx−x2 \int_{1/2}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}} এর মান কত?

Question

Accepted Answer

ক. π2 \frac{\pi}{2}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজটি হলো:
$$I = \int_{1/2}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$$

এখানে রুটের ভেতরের রাশিটিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করি:
$$x - x^2 = \frac{1}{4} - \left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$$

এখন, $x - \frac{1}{2} = u$ ধরলে $dx = du$ হয়।
সীমা পরিবর্তন করলে:
- যখন $x = \frac{1}{2}$, তখন $u = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
- যখন $x = 1$, তখন $u = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

অতএব,
$$I = \int_{0}^{1/2} \frac{du}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - u^2}} = \left[ \sin^{-1}\left(\frac{u}{1/2}\right) \right]_0^{1/2} = \left[ \sin^{-1}(2u) \right]_0^{1/2}$$
$$I = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$

সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন 1।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন