If p, q, r are real numbers and p2+4q2+9r2−2pq−6qr−3rp=0 p^2 + 4q^2 + 9r^2 - 2pq - 6qr - 3rp = 0 then p, q, r in

Question

Accepted Answer

গ. Harmonic Progression

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $p^2 + 4q^2 + 9r^2 - 2pq - 6qr - 3rp = 0$
বা, $p^2 + (2q)^2 + (3r)^2 - p(2q) - (2q)(3r) - (3r)p = 0$

আমরা জানি, $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] = 0$
যেহেতু $p, q, r$ বাস্তব সংখ্যা, তাই বর্গের সমষ্টি শূন্য হতে হলে প্রতিটি পদ পৃথকভাবে শূন্য হতে হবে:
$p = 2q = 3r = k$ (ধরি, যেখানে $k 
eq 0$)

অতএব,
$p = k \implies \frac{1}{p} = \frac{1}{k}$
$q = \frac{k}{2} \implies \frac{1}{q} = \frac{2}{k}$
$r = \frac{k}{3} \implies \frac{1}{r} = \frac{3}{k}$

দেখা যাচ্ছে যে, $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ এর পদগুলোর মধ্যে সাধারণ অন্তর $\frac{1}{k}$, অর্থাৎ তারা সমান্তর প্রগমনে (Arithmetic Progression) রয়েছে।
সুতরাং, $p, q, r$ বিপরীত বা উল্টোন প্রগমনে (Harmonic Progression বা H.P.) থাকবে।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন