উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Combined Board • সমন্বিত বোর্ড ২০২৬ (অনিয়মিত)

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

T=[3m3+73n3+73r3+7mnrm2n2r2] T = \begin{bmatrix} 3m^3+7 & 3n^3+7 & 3r^3+7 \ m & n & r \ m^2 & n^2 & r^2 \end{bmatrix}

  1. ক)

    [11x+2y−111] \begin{bmatrix} 11 & x+2 \ y-1 & 11 \end{bmatrix} একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স হলে x3−y3 x^3 - y^3 এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    m=1,n=−1,r=0 m=1, n=-1, r=0 হলে, 3T2−5T+3I3 3T^2 - 5T + 3I_3 নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    দেখাও যে, ∣T∣=(3mnr+7)(m−n)(n−r)(r−m) |T| = (3mnr + 7)(m - n)(n - r)(r - m) .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে মুখ্য কর্ণের উপাদানসমূহ সমান এবং কর্ণবহির্ভূত সকল উপাদান শূন্য হয়।
    প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি হলো: [11x+2y−111]\begin{bmatrix} 11 & x+2 \\ y-1 & 11 \end{bmatrix}
    শর্তমতে,
    x+2=0  ⟹  x=−2x + 2 = 0 \implies x = -2
    y−1=0  ⟹  y=1y - 1 = 0 \implies y = 1

    অতএব,
    x3−y3=(−2)3−(1)3=−8−1=−9x^3 - y^3 = (-2)^3 - (1)^3 = -8 - 1 = -9 (Ans.)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    m=1m = 1, n=−1n = -1, r=0r = 0 হলে প্রদত্ত TT ম্যাট্রিক্সটি হবে:
    T=[3(1)3+73(−1)3+73(0)3+71−1012(−1)202]=[10471−10110]T = \begin{bmatrix} 3(1)^3+7 & 3(-1)^3+7 & 3(0)^3+7 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1^2 & (-1)^2 & 0^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}

    এখন,
    T2=T⋅T=[10471−10110][10471−10110]T^2 = T \cdot T = \begin{bmatrix} 10 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
    =[100+4+740−4+770+0+010−1+04+1+07+0+010+1+04−1+07+0+0]=[11143709571137]= \begin{bmatrix} 100+4+7 & 40-4+7 & 70+0+0 \\ 10-1+0 & 4+1+0 & 7+0+0 \\ 10+1+0 & 4-1+0 & 7+0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 111 & 43 & 70 \\ 9 & 5 & 7 \\ 11 & 3 & 7 \end{bmatrix}

    অতএব,
    3T2=3[11143709571137]=[33312921027152133921]3T^2 = 3 \begin{bmatrix} 111 & 43 & 70 \\ 9 & 5 & 7 \\ 11 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 333 & 129 & 210 \\ 27 & 15 & 21 \\ 33 & 9 & 21 \end{bmatrix}
    −5T=−5[10471−10110]=[−50−20−35−550−5−50]-5T = -5 \begin{bmatrix} 10 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -50 & -20 & -35 \\ -5 & 5 & 0 \\ -5 & -5 & 0 \end{bmatrix}
    3I3=3[100010001]=[300030003]3I_3 = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    3T2−5T+3I3=[333−50+3129−20+0210−35+027−5+015+5+321+0+033−5+09−5+021+0+3]3T^2 - 5T + 3I_3 = \begin{bmatrix} 333-50+3 & 129-20+0 & 210-35+0 \\ 27-5+0 & 15+5+3 & 21+0+0 \\ 33-5+0 & 9-5+0 & 21+0+3 \end{bmatrix}
    =[28610917522232128424]= \begin{bmatrix} 286 & 109 & 175 \\ 22 & 23 & 21 \\ 28 & 4 & 24 \end{bmatrix} (Ans.)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    ∣T∣=∣3m3+73n3+73r3+7mnrm2n2r2∣|T| = \begin{vmatrix} 3m^3+7 & 3n^3+7 & 3r^3+7 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix}
    নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী ১ম সারিকে দুটি নির্ণায়কের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করে পাই:
    ∣T∣=∣3m33n33r3mnrm2n2r2∣+∣777mnrm2n2r2∣|T| = \begin{vmatrix} 3m^3 & 3n^3 & 3r^3 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 7 & 7 & 7 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix}
    =3∣m3n3r3mnrm2n2r2∣+7∣111mnrm2n2r2∣= 3 \begin{vmatrix} m^3 & n^3 & r^3 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix}

    প্রথম নির্ণায়কে ১ম সারি থেকে m,n,rm, n, r কমন নিয়ে (কলামভিত্তিক):
    11ম কলাম থেকে mm, ২য় কলাম থেকে nn এবং ৩য় কলাম থেকে rr কমন নিলে পাই,
    =3mnr∣m2n2r2111mnr∣+7∣111mnrm2n2r2∣= 3mnr \begin{vmatrix} m^2 & n^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ m & n & r \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix}

    প্রথম নির্ণায়কের সারি পরস্পর বিনিময় করে পাই:
    R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2 করলে চিহ্ন পরিবর্তিত হবে: −3mnr∣111m2n2r2mnr∣-3mnr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m^2 & n^2 & r^2 \\ m & n & r \end{vmatrix}
    আবার R2↔R3R_2 \leftrightarrow R_3 করলে চিহ্ন পুনরায় পরিবর্তিত হবে: 3mnr∣111mnrm2n2r2∣3mnr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix}

    অতএব,
    ∣T∣=3mnr∣111mnrm2n2r2∣+7∣111mnrm2n2r2∣|T| = 3mnr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix}
    =(3mnr+7)∣111mnrm2n2r2∣= (3mnr + 7) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix}

    এখন C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 প্রয়োগ করে পাই:
    ∣111mnrm2n2r2∣=∣001m−nn−rrm2−n2n2−r2r2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & n & r \\ m^2 & n^2 & r^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ m-n & n-r & r \\ m^2-n^2 & n^2-r^2 & r^2 \end{vmatrix}
    =(m−n)(n−r)∣00111rm+nn+rr2∣= (m-n)(n-r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & r \\ m+n & n+r & r^2 \end{vmatrix}
    ১ম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে:
    =(m−n)(n−r)⋅1⋅[1(n+r)−1(m+n)]= (m-n)(n-r) \cdot 1 \cdot [1(n+r) - 1(m+n)]
    =(m−n)(n−r)(n+r−m−n)= (m-n)(n-r)(n+r-m-n)
    =(m−n)(n−r)(r−m)= (m-n)(n-r)(r-m)

    সুতরাং,
    ∣T∣=(3mnr+7)(m−n)(n−r)(r−m)|T| = (3mnr + 7)(m-n)(n-r)(r-m) (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন