গণিত • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫

গণিত প্রশ্ন

△PQR \triangle PQR ও △DEF \triangle DEF সদৃশকোণী। PM PM রেখাংশ △PQR \triangle PQR এর অন্তঃস্থ ∠P \angle P কে সমদ্বিখণ্ডিত করে QR QR বাহুকে M বিন্দুতে ছেদ করে।

  1. ক)

    11 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে 5:3 5 : 3 অনুপাতে অন্তরবিভক্ত কর।

    (1)
  2. খ)

    △PQR \triangle PQR এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, QM:MR=QP:PR QM : MR = QP : PR .

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, △PQR:△DEF=QR2:EF2 \triangle PQR : \triangle DEF = QR^2 : EF^2 .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    1111 সেমি রেখাংশকে 5:35:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে অংশ দুইটি 11×58=558=6.875\frac{11\times5}{8}=\frac{55}{8}=6.875 সেমি ও 11×38=338=4.125\frac{11\times3}{8}=\frac{33}{8}=4.125 সেমি।

    অঙ্কনের বিবরণ: ১. AB=11AB=11 সেমি আঁকি। ২. AA বিন্দুতে সুক্ষ্মকোণ করে রশ্মি AXAX আঁকি এবং AXAX থেকে সমান (5+3)=8(5+3)=8 টি অংশ কাটি। ৩. 88ম বিন্দু P8P_8 ও BB যোগ করি। ৪. 55ম বিন্দু P5P_5 দিয়ে P8BP_8B এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, যা ABAB কে CC বিন্দুতে ছেদ করে। তখন AC:CB=5:3AC:CB=5:3।

  2. খ)

    বিশেষ নির্বচন: △PQR\triangle PQR-এ PMPM রেখা ∠P\angle P কে সমদ্বিখণ্ডিত করে QRQR কে MM বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে QM:MR=QP:PRQM:MR=QP:PR।

    অঙ্কন: RR বিন্দু দিয়ে PMPM এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, যা QPQP এর বর্ধিতাংশকে SS বিন্দুতে ছেদ করে।

    প্রমাণ: PM∥SRPM\parallel SR এবং QSQS ছেদক বলে ∠QPM=∠PSR\angle QPM=\angle PSR (অনুরূপ কোণ)। আবার PRPR ছেদক হওয়ায় ∠MPR=∠PRS\angle MPR=\angle PRS (একান্তর কোণ)। ∠QPM=∠MPR\angle QPM=\angle MPR হওয়ায় ∠PSR=∠PRS\angle PSR=\angle PRS। ∴ PS=PR\therefore\ PS=PR।

    △QSR\triangle QSR-এ PM∥SRPM\parallel SR, তাই QMMR=QPPS\frac{QM}{MR}=\frac{QP}{PS}। PS=PRPS=PR বসিয়ে পাই QMMR=QPPR\frac{QM}{MR}=\frac{QP}{PR}।

    ∴ QM:MR=QP:PR\therefore\ QM:MR=QP:PR। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: △PQR\triangle PQR ও △DEF\triangle DEF সদৃশকোণী, অর্থাৎ ∠Q=∠E\angle Q=\angle E, ∠R=∠F\angle R=\angle F, ∠P=∠D\angle P=\angle D। প্রমাণ করতে হবে △PQR:△DEF=QR2:EF2\triangle PQR:\triangle DEF=QR^2:EF^2।

    অঙ্কন: PP থেকে QRQR এর উপর লম্ব PAPA এবং DD থেকে EFEF এর উপর লম্ব DBDB আঁকি।

    প্রমাণ: △PQR=12×QR×PA\triangle PQR=\frac{1}{2}\times QR\times PA এবং △DEF=12×EF×DB\triangle DEF=\frac{1}{2}\times EF\times DB।
    ∴ △PQR△DEF=QREF×PADB\therefore\ \frac{\triangle PQR}{\triangle DEF}=\frac{QR}{EF}\times\frac{PA}{DB}। ...(১)

    এখন △PQA\triangle PQA ও △DEB\triangle DEB-এ ∠Q=∠E\angle Q=\angle E এবং ∠PAQ=∠DBE=90∘\angle PAQ=\angle DBE=90^{\circ}। তাই ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী, ফলে সদৃশ। ∴ PADB=PQDE\therefore\ \frac{PA}{DB}=\frac{PQ}{DE}।

    আবার সদৃশ △PQR\triangle PQR ও △DEF\triangle DEF-এ অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান: PQDE=QREF\frac{PQ}{DE}=\frac{QR}{EF}। ∴ PADB=QREF\therefore\ \frac{PA}{DB}=\frac{QR}{EF}।

    (১) এ বসিয়ে পাই △PQR△DEF=QREF×QREF=QR2EF2\frac{\triangle PQR}{\triangle DEF}=\frac{QR}{EF}\times\frac{QR}{EF}=\frac{QR^2}{EF^2}।

    ∴ △PQR:△DEF=QR2:EF2\therefore\ \triangle PQR:\triangle DEF=QR^2:EF^2। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন