উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-১: x2−bx−c=0 x^{2}-b x-c=0 সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান।উদ্দীপক-২: ax2+2bx+c=0 a x^{2}+2 b x+c=0 এর একটি মূল।cx2+2bx+a=0 c x^{2}+2 b x+a=0 সমীকরণের একটি মূলের তিনগুণ।

  1. ক)

    2x2+x+1=0 2 x^{2}+x+1=0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপক-১ এর সাহয্যে দেখাও যে, b3+c(3b+1)−c2=0 b^{3}+c(3 b+1)-c^{2}=0 .

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, c = 3a অথবা 12b2=(c+3a)2 12 b^{2}=(c+3 a)^{2} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 2x2+x+1=02x^2 + x + 1 = 0
    এখানে, a=2,b=1,c=1a = 2, b = 1, c = 1
    সমীকরণটির নিশ্চায়ক, D=b2−4ac=12−4⋅2⋅1=1−8=−7D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7
    যেহেতু D<0D < 0, সেহেতু মূলদ্বয় জটিল (অবাস্তব) এবং অসমান।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-১: x2−bx−c=0x^2 - bx - c = 0
    ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha এবং α2\alpha^2।
    মূলদ্বয়ের যোগফল, α+α2=−(−b)=b  ⟹  α+α2=b…(1)\alpha + \alpha^2 = -(-b) = b \implies \alpha + \alpha^2 = b \quad \dots (1)
    মূলদ্বয়ের গুণফল, α⋅α2=−c  ⟹  α3=−c…(2)\alpha \cdot \alpha^2 = -c \implies \alpha^3 = -c \quad \dots (2)
    (1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
    (α+α2)3=b3(\alpha + \alpha^2)^3 = b^3
      ⟹  α3+(α2)3+3⋅α⋅α2(α+α2)=b3\implies \alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3 \cdot \alpha \cdot \alpha^2 (\alpha + \alpha^2) = b^3
      ⟹  α3+(α3)2+3α3(α+α2)=b3\implies \alpha^3 + (\alpha^3)^2 + 3\alpha^3 (\alpha + \alpha^2) = b^3
    এখন α3=−c\alpha^3 = -c এবং α+α2=b\alpha + \alpha^2 = b মান বসিয়ে পাই,
    −c+(−c)2+3(−c)(b)=b3-c + (-c)^2 + 3(-c)(b) = b^3
      ⟹  −c+c2−3bc=b3\implies -c + c^2 - 3bc = b^3
      ⟹  b3+3bc+c−c2=0\implies b^3 + 3bc + c - c^2 = 0
      ⟹  b3+c(3b+1)−c2=0\implies b^3 + c(3b + 1) - c^2 = 0 (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    প্রথম সমীকরণ: ax2+2bx+c=0…(1)ax^2 + 2bx + c = 0 \quad \dots (1)
    দ্বিতীয় সমীকরণ: cx2+2bx+a=0…(2)cx^2 + 2bx + a = 0 \quad \dots (2)

    শর্তানুসারে, (1) নং সমীকরণের একটি মূল (2) নং সমীকরণের একটি মূলের তিনগুণ।
    ধরি, (2) নং সমীকরণের একটি মূল α\alpha। তাহলে (1) নং সমীকরণের একটি মূল হবে 3α3\alpha।
    অতএব, 3α3\alpha দ্বারা (1) নং এবং α\alpha দ্বারা (2) নং সিদ্ধ হবে:
    a(3α)2+2b(3α)+c=0  ⟹  9aα2+6bα+c=0…(3)a(3\alpha)^2 + 2b(3\alpha) + c = 0 \implies 9a\alpha^2 + 6b\alpha + c = 0 \quad \dots (3)
    cα2+2bα+a=0…(4)c\alpha^2 + 2b\alpha + a = 0 \quad \dots (4)

    (4) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (3) নং থেকে বিয়োগ করি:
    (9aα2+6bα+c)−3(cα2+2bα+a)=0(9a\alpha^2 + 6b\alpha + c) - 3(c\alpha^2 + 2b\alpha + a) = 0
      ⟹  (9a−3c)α2+(c−3a)=0\implies (9a - 3c)\alpha^2 + (c - 3a) = 0
      ⟹  3(3a−c)α2−(3a−c)=0\implies 3(3a - c)\alpha^2 - (3a - c) = 0
      ⟹  (3a−c)(3α2−1)=0\implies (3a - c)(3\alpha^2 - 1) = 0

    হয়, 3a−c=0  ⟹  c=3a3a - c = 0 \implies c = 3a
    অথবা, 3α2−1=0  ⟹  α2=133\alpha^2 - 1 = 0 \implies \alpha^2 = \frac{1}{3}

    আবার, বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে (3) ও (4) থেকে পাই:
    α26ab−2bc=αc2−9a2=118ab−2bc\frac{\alpha^2}{6ab - 2bc} = \frac{\alpha}{c^2 - 9a^2} = \frac{1}{18ab - 2bc}
      ⟹  α=c2−9a22b(9a−c)=−(3a−c)(3a+c)2b(9a−c)\implies \alpha = \frac{c^2 - 9a^2}{2b(9a - c)} = -\frac{(3a - c)(3a + c)}{2b(9a - c)}
    অথবা সরাসরি (4) নং সমীকরণ থেকে পাই, 2bα=−(cα2+a)2b\alpha = -(c\alpha^2 + a)
    বর্গ করে, 4b2α2=(cα2+a)24b^2 \alpha^2 = (c\alpha^2 + a)^2
    α2=13\alpha^2 = \frac{1}{3} বসিয়ে পাই,
    4b2(13)=(c3+a)24b^2 \left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{c}{3} + a\right)^2
      ⟹  4b23=(c+3a)29\implies \frac{4b^2}{3} = \frac{(c + 3a)^2}{9}
      ⟹  12b2=(c+3a)2\implies 12b^2 = (c + 3a)^2

    ∴c=3a\therefore c = 3a অথবা 12b2=(c+3a)212b^2 = (c + 3a)^2 (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন