উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
f(x)=ax+by+c,g(x)=lx+my+n f(x)=a x+b y+c, g(x)=l x+m y+n
- ক)(2)
∣2x−1∣<13 |2 x-1|<\frac{1}{3} এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।
- খ)(4)
উদ্দীপকে a=1,b=c=0,∣f(x)−1∣<111 a=1, b=c=0,|f(x)-1|<\frac{1}{11} হলে প্রমাণ কর যে,∣{f(x)}2−1∣<23121 \left|{f(x)}^{2}-1\right|<\frac{23}{121}
- গ)(4)
a=1, b=−1,c=2,f(x)≥0,l=1, m=1,n=−4, g(x)≤0 \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-1, \mathrm{c}=2, \mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 0, \mathrm{l}=1, \mathrm{~m}=1, \mathrm{n}=-4, \mathrm{~g}(\mathrm{x}) \leq 0 এবং x,y≥0 x, y \geq 0 হলে, z=x+2y z=x+2 y এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, (|2x - 1| < \frac{1}{3})
(\Rightarrow -\frac{1}{3} < 2x - 1 < \frac{1}{3})
সব পক্ষে 1 যোগ করে,
(1 - \frac{1}{3} < 2x < 1 + \frac{1}{3})
(\Rightarrow \frac{2}{3} < 2x < \frac{4}{3})
উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে,
(\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3})নির্ণেয় সমাধান সেট: (S = \left{x \in \mathbb{R} : \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}\right} = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right))
সংখ্যারেখায় উপস্থাপন:
সংখ্যারেখায় (\frac{1}{3}) ও (\frac{2}{3}) বিন্দু দুটিতে ফাঁপা বৃত্ত (open circle) এঁকে তাদের মধ্যবর্তী অংশটিকে গাঢ় চিহ্নিত করতে হবে। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপকে (f(x) = ax + by + c)।
(a = 1, b = 0, c = 0) হলে, (f(x) = 1\cdot x + 0\cdot y + 0 = x)।
দেওয়া আছে, (|f(x) - 1| < \frac{1}{11} \Rightarrow |x - 1| < \frac{1}{11})।
(\Rightarrow -\frac{1}{11} < x - 1 < \frac{1}{11})
সব পক্ষে 2 যোগ করে পাই,
(2 - \frac{1}{11} < x + 1 < 2 + \frac{1}{11})
(\Rightarrow \frac{21}{11} < x + 1 < \frac{23}{11})
অতএব, (|x + 1| < \frac{23}{11})এখন,
(|{f(x)}^2 - 1| = |x^2 - 1| = |(x - 1)(x + 1)| = |x - 1| \cdot |x + 1|)
(< \frac{1}{11} \cdot \frac{23}{11} = \frac{23}{121})(\therefore |{f(x)}^2 - 1| < \frac{23}{121}) [প্রমাণিত]
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপক অনুসারে:
(f(x) = ax + by + c), যেখানে (a = 1, b = -1, c = 2)
(\therefore f(x) = x - y + 2)
শর্তানুসারে, (f(x) \ge 0 \Rightarrow x - y + 2 \ge 0 \Rightarrow x - y \ge -2)(g(x) = lx + my + n), যেখানে (l = 1, m = 1, n = -4)
(\therefore g(x) = x + y - 4)
শর্তানুসারে, (g(x) \le 0 \Rightarrow x + y - 4 \le 0 \Rightarrow x + y \le 4)এবং অবিনির্দেশক শর্তাবলী: (x \ge 0, y \ge 0)
এখন সীমা নির্ধারণকারী সমীকরণসমূহ:
(1) (x - y = -2 \Rightarrow \frac{x}{-2} + \frac{y}{2} = 1)
(2) (x + y = 4 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1)
(3) (x = 0) (y-অক্ষ)
(4) (y = 0) (x-অক্ষ)সমীকরণ (1) ও (2) সমাধান করে পাই:
যোগ করে, (2x = 2 \Rightarrow x = 1)
অতএব, (y = 3)
সুতরাং এদের ছেদবিন্দু (B(1, 3))।প্রদত্ত শর্তসমূহ মেনে সমাধান এলাকাটি বহুভুজাকার অঞ্চল গঠন করে, যার শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:
(O(0, 0))
(A(4, 0)) [সমীকরণ (2) এবং (y=0) এর ছেদবিন্দু]
(B(1, 3)) [সমীকরণ (1) ও (2) এর ছেদবিন্দু]
(C(0, 2)) [সমীকরণ (1) এবং (x=0) এর ছেদবিন্দু]এখন অভীষ্ট অপেক্ষক (z = x + 2y)-এর মান শীর্ষবিন্দুগুলোতে নির্ণয় করি:
(O(0, 0)) বিন্দুতে: (z = 0 + 2(0) = 0)
(A(4, 0)) বিন্দুতে: (z = 4 + 2(0) = 4)
(B(1, 3)) বিন্দুতে: (z = 1 + 2(3) = 1 + 6 = 7)
(C(0, 2)) বিন্দুতে: (z = 0 + 2(2) = 4)তুলনা করে দেখা যাচ্ছে, (B(1, 3)) বিন্দুতে (z)-এর মান সর্বোচ্চ।
অতএব, (z)-এর সর্বোচ্চ মান = 7।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও