পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: চিত্রানুযায়ী 5 N বলকে ধনাত্মক x-অক্ষ এবং 6 N বলকে ধনাত্মক y-অক্ষ বিবেচনা করে 2 N বলের দিক তৃতীয় চতুর্ভাগে x-অক্ষের সাথে 210° কোণে ধরা হয়েছে।

   কোনো ব্যবকলনযোগ্য ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটর ডেল ($\vec{\nabla}$)-এর ক্রস গুণনকে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল বলে।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: চিত্রানুযায়ী 5 N বলকে ধনাত্মক x-অক্ষ এবং 6 N বলকে ধনাত্মক y-অক্ষ বিবেচনা করে 2 N বলের দিক তৃতীয় চতুর্ভাগে x-অক্ষের সাথে 210° কোণে ধরা হয়েছে।

   রাস্তার বাঁকে নিরাপদে মোড় নেওয়ার জন্য কেন্দ্রমুখী বল ($F_c = \frac{mv^2}{r}$) প্রয়োজন। সমতল রাস্তায় কেবল চাকা ও রাস্তার মধ্যকার ঘর্ষণ বল এই কেন্দ্রমুখী বল যোগান দিতে পারে, যা অনেক সময় অপর্যাপ্ত হওয়ায় গাড়ি ছিটকে যাওয়ার ঝুঁকি থাকে। কিন্তু বাঁকের বাইরের প্রান্ত ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা কিছুটা উঁচু রাখা হলে (ব্যাংকিং করা হলে) গাড়ির ওপর রাস্তার প্রতিক্রিয়া বল উলম্বের সাথে কোণ করে হেলে যায়। এই প্রতিক্রিয়া বলের অনুভূমিক উপাংশ ($R\sin\theta$) প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ করে, যার ফলে গাড়ি উল্টে না গিয়ে নিরাপদে বাঁক অতিক্রম করতে পারে।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: চিত্রানুযায়ী 5 N বলকে ধনাত্মক x-অক্ষ এবং 6 N বলকে ধনাত্মক y-অক্ষ বিবেচনা করে 2 N বলের দিক তৃতীয় চতুর্ভাগে x-অক্ষের সাথে 210° কোণে ধরা হয়েছে।

   চিত্রানুসারে,
   ১ম বল, $F_1 = 5\text{ N}$ (ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর, $\theta_1 = 0^\circ$)
   ২য় বল, $F_2 = 6\text{ N}$ (ধনাত্মক y-অক্ষ বরাবর, $\theta_2 = 90^\circ$)
   ৩য় বল, $F_3 = 2\text{ N}$ (y-অক্ষের সাথে $120^\circ$ কোণে, অর্থাৎ x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta_3 = 90^\circ + 120^\circ = 210^\circ$)

   বলগুলোর অনুভূমিক বা x-উপাংশের সমষ্টি:
   $F_x = F_1 \cos 0^\circ + F_2 \cos 90^\circ + F_3 \cos 210^\circ$
   $\Rightarrow F_x = 5(1) + 6(0) + 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 - \sqrt{3} \approx 3.268\text{ N}$

   বলগুলোর উলম্ব বা y-উপাংশের সমষ্টি:
   $F_y = F_1 \sin 0^\circ + F_2 \sin 90^\circ + F_3 \sin 210^\circ$
   $\Rightarrow F_y = 5(0) + 6(1) + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 6 - 1 = 5\text{ N}$

   অতএব, প্রথম 4 s সময়ে বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল লব্ধি বলের মান:
   $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(3.268)^2 + 5^2} = \sqrt{10.68 + 25} = \sqrt{35.68} \approx 5.973\text{ N}$ (বা $5.97\text{ N}$)।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: চিত্রানুযায়ী 5 N বলকে ধনাত্মক x-অক্ষ এবং 6 N বলকে ধনাত্মক y-অক্ষ বিবেচনা করে 2 N বলের দিক তৃতীয় চতুর্ভাগে x-অক্ষের সাথে 210° কোণে ধরা হয়েছে।

   প্রথম ক্ষেত্রে:
   (গ) থেকে পাই, প্রথম 4 s সময়ে তিনটি বলের লব্ধি বলের মান, $F_1 = 5.973\text{ N}$
   লব্ধির দিক (x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে):
   $\theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{F_y}{F_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{3.268}\right) \approx 56.83^\circ$
   বস্তুর ভর $m = 2\text{ kg}$ হওয়ায় ত্বরণ, $a_1 = \frac{F_1}{m} = \frac{5.973}{2} \approx 2.99\text{ m/s}^2$

   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
   বস্তুটির ওপর কেবল $5\text{ N}$ ও $6\text{ N}$ বল ক্রিয়াশীল এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 90^\circ$।
   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে লব্ধি বলের মান:
   $F_2 = \sqrt{5^2 + 6^2 + 2 \times 5 \times 6 \times \cos 90^\circ} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \approx 7.81\text{ N}$
   লব্ধির দিক (x-অক্ষের সাথে):
   $\theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{6}{5}\right) \approx 50.19^\circ$
   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ত্বরণ, $a_2 = \frac{F_2}{m} = \frac{7.81}{2} \approx 3.905\text{ m/s}^2$

   যেহেতু উভয় ক্ষেত্রে লব্ধি বলের মান ($5.973\text{ N} \neq 7.81\text{ N}$) এবং দিক ($\theta_1 \neq \theta_2$) ভিন্ন, তাই উভয় ক্ষেত্রে লব্ধি (লব্ধি বল বা ত্বরণ) একই নয়।