গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী,
$(x + a)^n = x^n + \binom{n}{1} x^{n-1} a + \binom{n}{2} x^{n-2} a^2 + \dots$

প্রশ্নমতে,
$T_1 = x^n = 729$ ... (1)
$T_2 = n x^{n-1} a = 7290$ ... (2)
$T_3 = \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} a^2 = 30375$ ... (3)

(2) নং কে (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{n x^{n-1} a}{x^n} = \frac{7290}{729}$
$\implies \frac{n a}{x} = 10$
$\implies \frac{a}{x} = \frac{10}{n}$ ... (4)

(3) নং কে (2) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{\frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} a^2}{n x^{n-1} a} = \frac{30375}{7290}$
$\implies \frac{n-1}{2} \cdot \frac{a}{x} = \frac{25}{6}$ ... (5)

(4) হতে $\frac{a}{x}$ এর মান (5) এ বসিয়ে পাই,
$\frac{n-1}{2} \cdot \frac{10}{n} = \frac{25}{6}$
$\implies \frac{5(n-1)}{n} = \frac{25}{6}$
$\implies \frac{n-1}{n} = \frac{5}{6}$
$\implies 6n - 6 = 5n$
$\implies n = 6$

(1) নং এ $n = 6$ বসিয়ে পাই,
$x^6 = 729 = 3^6$
$\implies x = 3$

এখন (4) নং এ $n = 6$ এবং $x = 3$ বসিয়ে পাই,
$\frac{a}{3} = \frac{10}{6}$
$\implies a = \frac{30}{6} = 5$

অতএব, $a$ এর মান 5।

উত্তর: 5