পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ এবং ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$ বিবেচনা করা হয়েছে। | (খ) প্রশ্নে সমীকরণের ডানপাশে থাকা গুণক '২' মূলত প্রশ্নপত্রের বরাদ্দকৃত নম্বর হিসেবে চিহ্নিত।

   ১০০০ Hz কম্পাঙ্কের শব্দানুভূতির ক্ষেত্রে কোনো সুস্থ ও স্বাভাবিক মানুষের কানে যে ন্যূনতম তীব্রতার শব্দ শোনার অনুভূতি জন্মায়, তাকে শব্দের প্রমাণ তীব্রতা বা শ্রাব্যতার নিম্নসীমা বলে। প্রমাণ তীব্রতার মান $I_0 = 10^{-12} \text{ W m}^{-2}$।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ এবং ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$ বিবেচনা করা হয়েছে। | (খ) প্রশ্নে সমীকরণের ডানপাশে থাকা গুণক '২' মূলত প্রশ্নপত্রের বরাদ্দকৃত নম্বর হিসেবে চিহ্নিত।

   আমরা জানি,
   $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণন:
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos\theta$

   এবং এদের ভেক্টর গুণনের মান:
   $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin\theta$

   প্রশ্নমতে, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 45^\circ$।
   অতএব,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos 45^\circ = AB \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
   $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin 45^\circ = AB \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

   সুতরাং,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$
   [দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে উল্লিখিত সমীকরণের শেষের '২' মূলত প্রশ্নপত্রের বরাদ্দকৃত পূর্ণমান (2 marks), যা টাইপিংয়ের কারণে সমীকরণের সাথে যুক্ত হয়েছে।]

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ এবং ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$ বিবেচনা করা হয়েছে। | (খ) প্রশ্নে সমীকরণের ডানপাশে থাকা গুণক '২' মূলত প্রশ্নপত্রের বরাদ্দকৃত নম্বর হিসেবে চিহ্নিত।

   দেওয়া আছে,
   পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$
   ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$
   কৃত্রিম উপগ্রহের উচ্চতা, $h = 2 \times 10^6 \text{ m}$

   $h$ উচ্চতায় কৃত্রিম উপগ্রহে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_h$ হলে,
   $g_h = g \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$

   মান বসিয়ে পাই,
   $g_h = 9.8 \times \left(\frac{6.4 \times 10^6}{6.4 \times 10^6 + 2 \times 10^6}\right)^2$
   $\Rightarrow g_h = 9.8 \times \left(\frac{6.4 \times 10^6}{8.4 \times 10^6}\right)^2$
   $\Rightarrow g_h = 9.8 \times \left(\frac{6.4}{8.4}\right)^2$
   $\Rightarrow g_h = 9.8 \times (0.7619)^2 \approx 9.8 \times 0.5805 = 5.69 \text{ m s}^{-2}$

   অতএব, কৃত্রিম উপগ্রহের অবস্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ $5.69 \text{ m s}^{-2}$।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$ এবং ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$ বিবেচনা করা হয়েছে। | (খ) প্রশ্নে সমীকরণের ডানপাশে থাকা গুণক '২' মূলত প্রশ্নপত্রের বরাদ্দকৃত নম্বর হিসেবে চিহ্নিত।

   সরল দোলকের দোলনকাল $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ হওয়ায় $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$। অর্থাৎ যে স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ কম, সে স্থানে দোলনকাল বৃদ্ধি পায় এবং দোলকটি অধিক ধীরে চলে।

   ১ম ক্ষেত্রে (উপগ্রহের অবস্থানে):
   'গ' হতে পাই, উচ্চতা $h = 2 \times 10^6 \text{ m}$-এ অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_h \approx 5.69 \text{ m s}^{-2}$

   ২য় ক্ষেত্রে (খনিতে, গভীরতা $d = 3 \times 10^6 \text{ m}$):
   ভূপৃষ্ঠ হতে $d$ গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_d$ হলে,
   $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
   $= 9.8 \times \left(1 - \frac{3 \times 10^6}{6.4 \times 10^6}\right)$
   $= 9.8 \times \left(1 - 0.46875\right)$
   $= 9.8 \times 0.53125 \approx 5.21 \text{ m s}^{-2}$

   যেহেতু $g_d < g_h$, তাই স্থানিক অভিকর্ষজ ত্বরণ বিবেচনায়:
   $T_d > T_h$
   অর্থাৎ খনির অভ্যন্তরে দোলনকাল বেশি হবে এবং দোলকটি উপগ্রহের অবস্থান অপেক্ষা অধিক ধীরে চলবে।

   (বিকল্প তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি: কৃত্রিম উপগ্রহটি কক্ষপথে আবর্তনশীল থাকায় উপগ্রহের ভেতরে কার্যকর অভিকর্ষজ ত্বরণ শূন্য ($g_{\text{eff}} = 0$) হয়, যার ফলে সেখানে দোলনকাল অসীম ($T = \infty$) হয়ে দোলকটি সম্পূর্ণ স্থির হয়ে যায়। তবে সাধারণ এইচএসসি বোর্ড পাঠ্যক্রমে উপগ্রহের কক্ষপথের স্থানিক ত্বরণ $g_h$ বিবেচনায় খনিতেই ($g_d = 5.21 \text{ m s}^{-2}$) দোলক অধিক ধীরে চলার সিদ্ধান্তটিই প্রত্যাশিত।)