Limx→0xxk ext{Lim}_{x o 0} x^{x^k} এর মান:

Question

Limx→0xxk	ext{Lim}_{x 	o 0} x^{x^k} এর মান:

Accepted Answer

গ. 1

ব্যাখ্যা: ধরি, $y = x^{x^k}$। 
উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম ($\ln$) নিয়ে পাই:
$\ln y = \ln\left(x^{x^k}ight) = x^k \ln x = \frac{\ln x}{x^{-k}}$

এখন, $x 	o 0^+$ সীমার জন্য:
$\lim_{x 	o 0^+} \ln y = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\ln x}{x^{-k}}$ $\left[\frac{-\infty}{\infty} 	ext{ আকার}ight]$

লা হসপিতালের (L'Hôpital's) নিয়ম প্রয়োগ করে পাই:
$\lim_{x 	o 0^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^{-k})} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-k x^{-k-1}} = \lim_{x 	o 0^+} \left(-\frac{x^k}{k}ight) = 0$ (যেখানে $k > 0$)

যেহেতু $\lim_{x 	o 0} \ln y = 0$, সুতরাং:
$\lim_{x 	o 0} y = e^0 = 1$

অতএব, নির্ণেয় মান $1$ (Option 3)।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন