উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-১: u আদিবেগ এবং আনুভূমির সাথে α\alpha কোণে একটি বস্তুকণা নিক্ষেপ করা হলো। t সময় পর (x, y) বিন্দুতে পৌঁছায়।উদ্দীপক-২: একটি পাথর কুয়ার ভিতর ফেলার t সময় পরে পানিতে এর পতন শোনা গেল। শব্দের বেগ v এবং কুয়ার গভীরতা h। বাতাসের বাধা অগ্রাহ্য করা হলো।

  1. ক)

    একজন সাঁতারু স্রোতের বেগের দ্বিগুণ বেগে সাঁতার দিয়ে একটি নদীর অপর তীরে যাত্রা বিন্দুর বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছাল। স্রোতের দিকের সাথে সে যে কোণে যাত্রা করেছিল, তা নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপক-১ ব্যবহার করে দেখাও যে, x2tan⁡α−xRtan⁡α+Ry=0 \mathrm{x}^{2} \tan \alpha-\mathrm{x} R \tan \alpha+\mathrm{R} y=0 .

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপক-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, vgt2−2h(gt+v)=0 \mathrm{vgt}^{2}-2 h(\mathrm{gt}+\mathrm{v})=0

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, নদীর স্রোতের বেগ uu এবং সাঁতারুর বেগ v=2uv = 2u।
    সাঁতারু স্রোতের দিকের সাথে α\alpha কোণে যাত্রা শুরু করে।
    যেহেতু সাঁতারু অপর তীরে যাত্রা বিন্দুর ঠিক বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছায়, সেহেতু লব্ধি বেগ RR নদীর পাড় বা স্রোতের দিকের সাথে লম্ব (90∘90^\circ) কোণ তৈরি করে।

    আমরা জানি,
    tan⁡90∘=vsin⁡αu+vcos⁡α\tan 90^\circ = \frac{v \sin\alpha}{u + v \cos\alpha}
    ⇒u+vcos⁡α=0\Rightarrow u + v \cos\alpha = 0
    ⇒u+2ucos⁡α=0\Rightarrow u + 2u \cos\alpha = 0
    ⇒2ucos⁡α=−u\Rightarrow 2u \cos\alpha = -u
    ⇒cos⁡α=−12\Rightarrow \cos\alpha = -\frac{1}{2}
    ⇒α=cos⁡−1(−12)=120∘\Rightarrow \alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ

    অতএব, সাঁতারু স্রোতের দিকের সাথে 120∘120^\circ কোণে যাত্রা করেছিল।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রক্ষেপকের আনুভূমিক ও উল্লম্ব গতি থেকে আমরা জানি,
    x=(ucos⁡α)t  ⟹  t=xucos⁡αx = (u\cos\alpha)t \implies t = \frac{x}{u\cos\alpha}

    এবং উল্লম্ব সরণ,
    y=(usin⁡α)t−12gt2y = (u\sin\alpha)t - \frac{1}{2}gt^2
    y=(usin⁡α)(xucos⁡α)−12g(xucos⁡α)2y = (u\sin\alpha)\left(\frac{x}{u\cos\alpha}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{u\cos\alpha}\right)^2
    y=xtan⁡α−gx22u2cos⁡2αy = x\tan\alpha - \frac{g x^2}{2u^2\cos^2\alpha}
    y=xtan⁡α−x2tan⁡α2u2sin⁡αcos⁡αgy = x\tan\alpha - \frac{x^2 \tan\alpha}{\frac{2u^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}}
    আমরা জানি, আনুভূমিক পাল্লা R=u2sin⁡2αg=2u2sin⁡αcos⁡αgR = \frac{u^2\sin 2\alpha}{g} = \frac{2u^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}।
    সুতরাং,
    y=xtan⁡α−x2tan⁡αRy = x\tan\alpha - \frac{x^2\tan\alpha}{R}
    উভয়পক্ষকে RR দ্বারা গুণ করে পাই,
    Ry=Rxtan⁡α−x2tan⁡αR y = R x\tan\alpha - x^2\tan\alpha
    পক্ষান্তর করে পাই,
    x2tan⁡α−xRtan⁡α+Ry=0x^2\tan\alpha - x R\tan\alpha + R y = 0

    (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, পাথরটি কুয়ার পৃষ্ঠ থেকে মুক্তভাবে নিচে পড়তে সময় নেয় t1t_1 এবং পতনের শব্দ কুয়ার তলদেশ থেকে কুয়ার মুখে পৌঁছাতে সময় নেয় t2t_2।
    উদ্দীপক অনুসারে, মোট সময় t=t1+t2t = t_1 + t_2।

    পাথরের মুক্ত পতনের ক্ষেত্রে কুয়ার গভীরতা hh হলে,
    h=0⋅t1+12gt12=12gt12h = 0 \cdot t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 = \frac{1}{2}gt_1^2
    ⇒t12=2hg  ⟹  t1=2hg\Rightarrow t_1^2 = \frac{2h}{g} \implies t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}

    শব্দের সমবেগে উল্লম্বভাবে উপরে ওঠার ক্ষেত্রে,
    h=vt2  ⟹  t2=hvh = v t_2 \implies t_2 = \frac{h}{v}

    সুতরাং,
    t=t1+t2=2hg+hvt = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v}
    ⇒t−hv=2hg\Rightarrow t - \frac{h}{v} = \sqrt{\frac{2h}{g}}
    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    (t−hv)2=2hg\left(t - \frac{h}{v}\right)^2 = \frac{2h}{g}
    ⇒t2−2htv+h2v2=2hg\Rightarrow t^2 - \frac{2ht}{v} + \frac{h^2}{v^2} = \frac{2h}{g}
    [কুয়ার গভীরতা hh শব্দের বেগ vv এর তুলনায় যথেষ্ট কম হওয়ায় বা সরলীকৃত রূপান্তরের জন্য:
    অন্যভাবে,
    t1=t−t2=t−hvt_1 = t - t_2 = t - \frac{h}{v}
    আমরা জানি, h=12gt12h = \frac{1}{2}gt_1^2
    ⇒2h=g(t−hv)2\Rightarrow 2h = g\left(t - \frac{h}{v}\right)^2
    ⇒2h=g(vt−hv)2\Rightarrow 2h = g\left(\frac{vt - h}{v}\right)^2
    ⇒2hv2=g(v2t2−2vth+h2)\Rightarrow 2h v^2 = g(v^2t^2 - 2vth + h^2)
    উভয়পক্ষ থেকে h2h^2 নগণ্য বিবেচনায় অথবা প্রমাণের নির্দিষ্ট সমীকরণ অনুযায়ী:
    t1≈tt_1 \approx t ধরে শব্দ শোনার সাধারণ ক্ষেত্রে:
    সমীকরণটি পুনঃনিরীক্ষণ:
    প্রশ্নানুসারে উদ্দিষ্ট সম্পর্ক: vgt2−2h(gt+v)=0vgt^2 - 2h(gt + v) = 0
    প্রমাণ:
    যেহেতু t=2hg+hvt = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v},
    2hg=t−hv\sqrt{\frac{2h}{g}} = t - \frac{h}{v}
    উভয়পক্ষ বর্গ করলে পাই,
    2hg=t2−2htv+h2v2\frac{2h}{g} = t^2 - \frac{2ht}{v} + \frac{h^2}{v^2}
    যেহেতু শব্দের বেগ vv অনেক বেশি, তাই h2v2\frac{h^2}{v^2} পদটি ক্ষুদ্র বিবেচনায় বর্জন করে পাই,
    2hg≈t2−2htv\frac{2h}{g} \approx t^2 - \frac{2ht}{v}
    ⇒2hg=vt2−2htv\Rightarrow \frac{2h}{g} = \frac{vt^2 - 2ht}{v}
    ⇒2hv=g(vt2−2ht)\Rightarrow 2hv = g(vt^2 - 2ht)
    ⇒2hv=vgt2−2ght\Rightarrow 2hv = vgt^2 - 2ght
    ⇒vgt2=2ght+2hv\Rightarrow vgt^2 = 2ght + 2hv
    ⇒vgt2−2h(gt+v)=0\Rightarrow vgt^2 - 2h(gt + v) = 0

    (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন