উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $P(x) = x$
   নির্ণেয় সীমা:
   $\lim_{x \to 0} \{1 + 9P(x)\}^{\frac{7}{P(x)}} = \lim_{x \to 0} (1 + 9x)^{\frac{7}{x}}$
   $= \lim_{x \to 0} \left[ (1 + 9x)^{\frac{1}{9x}} \right]^{9 \times 7}$
   যেহেতু $\lim_{x \to 0} (1 + 9x)^{\frac{1}{9x}} = e$,
   অতএব, নির্ণেয় মান $= e^{63}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $K(x) = \sin x$
   অতএব,
   $\frac{K(5x)}{K\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right)} = \frac{\sin 5x}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right)} = \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = \tan 5x$
   ধরি, $f(x) = \tan 5x$
   $\therefore f(x+h) = \tan 5(x+h) = \tan(5x + 5h)$

   অন্তরজের সংজ্ঞানুযায়ী,
   $\frac{d}{dx}[f(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\tan(5x+5h) - \tan 5x}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \frac{\sin(5x+5h)}{\cos(5x+5h)} - \frac{\sin 5x}{\cos 5x} \right)$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(5x+5h)\cos 5x - \cos(5x+5h)\sin 5x}{h \cos(5x+5h) \cos 5x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(5x+5h - 5x)}{h \cos(5x+5h) \cos 5x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin 5h}{h \cos(5x+5h) \cos 5x}$
   $= 5 \cdot \left(\lim_{5h \to 0} \frac{\sin 5h}{5h}\right) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos(5x+5h) \cos 5x}$
   $= 5 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos^2 5x} = 5\sec^2 5x$

   অতএব, নির্ণেয় অন্তরজ $5\sec^2 5x$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত ফাংশন, $y = f(x) = 7P(x) + \frac{1}{7P(x)} = 7x + \frac{1}{7x}$

   অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = 7 - \frac{1}{7x^2}$
   $f''(x) = \frac{2}{7x^3}$

   ফাংশনের চরম মানের (গুরুমান বা লঘুমান) জন্য $f'(x) = 0$ হবে:
   $7 - \frac{1}{7x^2} = 0 \implies \frac{1}{7x^2} = 7 \implies 49x^2 = 1 \implies x = \pm \frac{1}{7}$

   যখন $x = \frac{1}{7}$:
   $f''\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{2}{7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3} = 2 \times 49 = 98 > 0$
   সুতরাং, $x = \frac{1}{7}$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
   $\therefore$ লঘুমান $= 7\left(\frac{1}{7}\right) + \frac{1}{7\left(\frac{1}{7}\right)} = 1 + 1 = 2$

   যখন $x = -\frac{1}{7}$:
   $f''\left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{2}{7 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)^3} = -98 < 0$
   সুতরাং, $x = -\frac{1}{7}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
   $\therefore$ গুরুমান $= 7\left(-\frac{1}{7}\right) + \frac{1}{7\left(-\frac{1}{7}\right)} = -1 - 1 = -2$

   এখানে, গুরুমান ($-2$) < লঘুমান ($2$)।
   অতএব, ফাংশনটির গুরুমান লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)