উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

P=[3+y4242+y3234+y] P=\left[\begin{array}{ccc}3+y & 4 & 2 \ 4 & 2+y & 3 \ 2 & 3 & 4+y\end{array}\right]

  1. ক)

    ক্রেমারের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান কর:4x+6y=8 4x+6 y=8 x−y=7 x-y=7

    (1)
  2. খ)

    ∣P∣=0 |P|=0 হলে, y y এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    y=0 y=0 হলে, P−1 P^{-1} নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ জোট:
    4x+6y=84x + 6y = 8
    x−y=7x - y = 7

    এখানে,
    D=∣461−1∣=4(−1)−6(1)=−4−6=−10≠0D = \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 4(-1) - 6(1) = -4 - 6 = -10 \neq 0

    Dx=∣867−1∣=8(−1)−6(7)=−8−42=−50D_x = \begin{vmatrix} 8 & 6 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} = 8(-1) - 6(7) = -8 - 42 = -50

    Dy=∣4817∣=4(7)−8(1)=28−8=20D_y = \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 4(7) - 8(1) = 28 - 8 = 20

    ক্রেমারের সূত্রানুসারে:
    x=DxD=−50−10=5x = \frac{D_x}{D} = \frac{-50}{-10} = 5
    y=DyD=20−10=−2y = \frac{D_y}{D} = \frac{20}{-10} = -2

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y)=(5,−2)(x, y) = (5, -2)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    ∣P∣=∣3+y4242+y3234+y∣=0|P| = \begin{vmatrix} 3+y & 4 & 2 \\ 4 & 2+y & 3 \\ 2 & 3 & 4+y \end{vmatrix} = 0

    C1′→C1+C2+C3C_1' \to C_1 + C_2 + C_3 প্রয়োগ করে:
    ∣y+942y+92+y3y+934+y∣=0\begin{vmatrix} y+9 & 4 & 2 \\ y+9 & 2+y & 3 \\ y+9 & 3 & 4+y \end{vmatrix} = 0

      ⟹  (y+9)∣14212+y3134+y∣=0\implies (y+9) \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2+y & 3 \\ 1 & 3 & 4+y \end{vmatrix} = 0

    R2′→R2−R1R_2' \to R_2 - R_1 এবং R3′→R3−R1R_3' \to R_3 - R_1 প্রয়োগ করে:
    (y+9)∣1420y−210−1y+2∣=0(y+9) \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & y-2 & 1 \\ 0 & -1 & y+2 \end{vmatrix} = 0

    প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই:
    (y+9)⋅1⋅[(y−2)(y+2)−(1)(−1)]=0(y+9) \cdot 1 \cdot [(y-2)(y+2) - (1)(-1)] = 0
      ⟹  (y+9)(y2−4+1)=0\implies (y+9)(y^2 - 4 + 1) = 0
      ⟹  (y+9)(y2−3)=0\implies (y+9)(y^2 - 3) = 0

    হয় y+9=0  ⟹  y=−9y + 9 = 0 \implies y = -9
    অথবা y2−3=0  ⟹  y=±3y^2 - 3 = 0 \implies y = \pm\sqrt{3}

    অতএব, নির্ণেয় yy-এর মান: −9,±3-9, \pm\sqrt{3}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    y=0y = 0 হলে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স:
    P=[342423234]P = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}

    ∣P∣=3(8−9)−4(16−6)+2(12−4)|P| = 3(8 - 9) - 4(16 - 6) + 2(12 - 4)
    =3(−1)−4(10)+2(8)= 3(-1) - 4(10) + 2(8)
    =−3−40+16=−27≠0= -3 - 40 + 16 = -27 \neq 0
    যেহেতু ∣P∣≠0|P| \neq 0, তাই P−1P^{-1} বিদ্যমান।

    PP এর সহগুণকসমূহ:
    A11=+(8−9)=−1A_{11} = + (8 - 9) = -1
    A12=−(16−6)=−10A_{12} = - (16 - 6) = -10
    A13=+(12−4)=8A_{13} = + (12 - 4) = 8

    A21=−(16−6)=−10A_{21} = - (16 - 6) = -10
    A22=+(12−4)=8A_{22} = + (12 - 4) = 8
    A23=−(9−8)=−1A_{23} = - (9 - 8) = -1

    A31=+(12−4)=8A_{31} = + (12 - 4) = 8
    A32=−(9−8)=−1A_{32} = - (9 - 8) = -1
    A33=+(6−16)=−10A_{33} = + (6 - 16) = -10

    সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স):
    adj⁡(P)=[−1−108−108−18−1−10]T=[−1−108−108−18−1−10]\operatorname{adj}(P) = \begin{bmatrix} -1 & -10 & 8 \\ -10 & 8 & -1 \\ 8 & -1 & -10 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & -10 & 8 \\ -10 & 8 & -1 \\ 8 & -1 & -10 \end{bmatrix}

    অতএব,
    P−1=1∣P∣adj⁡(P)=−127[−1−108−108−18−1−10]=127[110−810−81−8110]P^{-1} = \frac{1}{|P|} \operatorname{adj}(P) = -\frac{1}{27} \begin{bmatrix} -1 & -10 & 8 \\ -10 & 8 & -1 \\ 8 & -1 & -10 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & 10 & -8 \\ 10 & -8 & 1 \\ -8 & 1 & 10 \end{bmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন