উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বলদ্বয় P = 5 N এবং Q = 12 N।
   এদের মধ্যবর্তী কোণ α = 45°।
   বলদ্বয়ের লব্ধি R হলে,
   R = √(P² + Q² + 2PQ cos α)
   = √(5² + 12² + 2 · 5 · 12 · cos 45°)
   = √(25 + 144 + 120 · (1/√2))
   = √(169 + 60√2)
   = √(169 + 84.853)
   ≈ √253.853 ≈ 15.93 N (প্রায়)।
   অতএব, লব্ধির মান প্রায় 15.93 N বা √(169 + 60√2) N।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, P ও Q বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α এবং লব্ধি R।
   প্রথম ক্ষেত্রে, লব্ধি P বলের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
   আমরা জানি, tan 60° = (Q sin α) / (P + Q cos α)
   ⇒ √3 = (Q sin α) / (P + Q cos α)
   ⇒ P + Q cos α = (Q sin α) / √3 ...... (1)

   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, P বলকে দ্বিগুণ (2P) করা হলে কোণটি অর্ধেক হয়, অর্থাৎ 60°/2 = 30° হয়।
   tan 30° = (Q sin α) / (2P + Q cos α)
   ⇒ 1/√3 = (Q sin α) / (2P + Q cos α)
   ⇒ 2P + Q cos α = √3 Q sin α ...... (2)

   সমীকরণ (2) থেকে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে পাই:
   P = √3 Q sin α - (Q sin α) / √3
   ⇒ P = (2/√3) Q sin α ...... (3)

   এখন সমীকরণ (1)-এ P এর মান বসিয়ে পাই:
   (2/√3) Q sin α + Q cos α = (1/√3) Q sin α
   ⇒ Q cos α = (1/√3 - 2/√3) Q sin α
   ⇒ Q cos α = - (1/√3) Q sin α
   উভয়পক্ষকে Q sin α দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু Q ≠ 0, sin α ≠ 0):
   cot α = -1/√3
   ⇒ cot α = cot(180° - 60°) = cot 120°
   ⇒ α = 120°

   অতএব, P এবং Q বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 120°।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কোনো একটি বিন্দু O-তে ΔABC এর BC, CA এবং AB বাহুর সমান্তরাল ও একই ক্রমে তিনটি সমমানের বল M ক্রিয়াশীল।
   BC বাহুর সমান্তরাল দিককে X-অক্ষ বরাবর ধরি।
   তাহলে বল তিনটির দিক হবে:
   ১) প্রথম বল M এর দিক: X-অক্ষ বরাবর, অর্থাৎ কোণ θ₁ = 0°
   ২) দ্বিতীয় বল M এর দিক: CA বাহুর সমান্তরাল, যা প্রথম বলের সাথে কোণ উৎপন্ন করে θ₂ = 180° - C
   ৩) তৃতীয় বল M এর দিক: AB বাহুর সমান্তরাল, যা প্রথম বলের বিপরীত দিকের সাথে কোণ উৎপন্ন করে, ফলে X-অক্ষের সাথে কোণ θ₃ = 180° + B

   লব্ধি R হলে, X-অক্ষ ও Y-অক্ষ বরাবর উপাংশ নিয়ে পাই:
   R_x = M cos 0° + M cos(180° - C) + M cos(180° + B)
   = M [1 - cos C - cos B]

   R_y = M sin 0° + M sin(180° - C) + M sin(180° + B)
   = M [0 + sin C - sin B]
   = M [sin C - sin B]

   লব্ধি R² = R_x² + R_y²
   = M² [(1 - cos C - cos B)² + (sin C - sin B)²]
   = M² [1 + cos² C + cos² B - 2 cos C - 2 cos B + 2 cos B cos C + sin² C + sin² B - 2 sin B sin C]
   = M² [1 + (cos² C + sin² C) + (cos² B + sin² B) - 2 cos B - 2 cos C + 2(cos B cos C - sin B sin C)]
   = M² [1 + 1 + 1 - 2 cos B - 2 cos C + 2 cos(B + C)]

   যেহেতু ত্রিভুজ ABC-তে A + B + C = 180°, তাই B + C = 180° - A
   অতএব, cos(B + C) = cos(180° - A) = -cos A

   মান বসিয়ে পাই:
   R² = M² [3 - 2 cos B - 2 cos C + 2(-cos A)]
   = M² [3 - 2 cos A - 2 cos B - 2 cos C]

   ∴ R = M √(3 - 2 cos A - 2 cos B - 2 cos C) (প্রমাণিত)।