Consider the equation of a circle given by (x−5)2+(y−1)2=25 (x-5)^2 + (y-1)^2 = 25 . Which of the following two straight lines are the tangent lines of the above circle? (i) y−4=43(x−1) y - 4 = \frac{4}{3} (x-1) (ii) y−5=34(x−8) y - 5 = \frac{3}{4} (x-8)

Question

Accepted Answer

খ. Only (i)

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $(x-5)^2 + (y-1)^2 = 25 = 5^2$
বৃত্তটির কেন্দ্র $C = (5, 1)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 5$।

(i) রেখাটির সমীকরণ:
$y - 4 = \frac{4}{3}(x - 1) \implies 4x - 3y + 8 = 0$
কেন্দ্র $(5, 1)$ থেকে এই রেখার লম্ব দূরত্ব:
$d_1 = \frac{|4(5) - 3(1) + 8|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|20 - 3 + 8|}{5} = \frac{25}{5} = 5 = r$
যেহেতু লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান, তাই রেখা (i) একটি স্পর্শক।

(ii) রেখাটির সমীকরণ:
$y - 5 = \frac{3}{4}(x - 8) \implies 3x - 4y - 4 = 0$
কেন্দ্র $(5, 1)$ থেকে এই রেখার লম্ব দূরত্ব:
$d_2 = \frac{|3(5) - 4(1) - 4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|15 - 4 - 4|}{5} = \frac{7}{5} 
eq 5$
যেহেতু লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান নয়, তাই রেখা (ii) স্পর্শক নয়।

অতএব, কেবল (i) স্পর্শক (Only (i))।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন