A particle moves with simple harmonic motion in a straight line. In first τs au \mathrm{s} , after starting from rest it travels a distance a, and in next τ au s it travels 2 a , in same direction, then:

Question

A particle moves with simple harmonic motion in a straight line. In first τs 	au \mathrm{s} , after starting from rest it travels a distance a, and in next τ 	au s it travels 2 a , in same direction, then:

Accepted Answer

খ. time period of oscillations is 6τ 6 	au

ব্যাখ্যা: কণাটি স্থিরাবস্থা (rest) থেকে যাত্রা শুরু করে, অর্থাৎ $t = 0$ সময়ে এটি তার বিস্তারে (extreme position) অবস্থান করে।
সুতরাং, সাম্যাবস্থা থেকে সরণকে $x(t) = A \cos(\omega t)$ আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে $A$ হলো বিস্তার)।

প্রথম $	au$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $a$:
$A - x(	au) = a$
$\Rightarrow A(1 - \cos(\omega 	au)) = a$ ---- (১)

পরবর্তী $	au$ সময়ে একই দিকে আরও $2a$ দূরত্ব অতিক্রম করে, অর্থাৎ মোট $2	au$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $(a + 2a) = 3a$:
$A - x(2	au) = 3a$
$\Rightarrow A(1 - \cos(2\omega 	au)) = 3a$ ---- (২)

আমরা জানি, $1 - \cos(2	heta) = 2\sin^2	heta = 2(1 - \cos^2	heta) = 2(1 - \cos	heta)(1 + \cos	heta)$।
সমীকরণ (২)-কে সমীকরণ (১) দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\frac{1 - \cos(2\omega 	au)}{1 - \cos(\omega 	au)} = \frac{3a}{a} = 3$
$\Rightarrow 2(1 + \cos(\omega 	au)) = 3$
$\Rightarrow 1 + \cos(\omega 	au) = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \cos(\omega 	au) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \omega 	au = \frac{\pi}{3}$

যেহেতু $\omega = \frac{2\pi}{T}$:
$\frac{2\pi}{T} \cdot 	au = \frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow T = 6	au$

অতএব, কণাটির পর্যায়কাল হলো $6	au$ (এবং বিস্তার $A = 2a$)। সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন 2।

পদার্থবিজ্ঞান প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন