উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-১: ax3+bx+c=0 a x^{3}+b x+c=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ \alpha, \beta, \gamma । উদ্দীপক-২: (y+ix)13=a+ib (y+i x)^{\frac{1}{3}}=a+i b একটি সমীকরণ।

  1. ক)

    6x2−5x−1=0 6 x^{2}-5 x-1=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে γ2α+β,α2β+γ \frac{\gamma^{2}}{\alpha+\beta}, \frac{\alpha^{2}}{\beta+\gamma} ও β2γ+α \frac{\beta^{2}}{\gamma+\alpha} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপক-২ এর সাহয্যে দেখাও যে, ax+by=4ab(a2−b2) a x+b y=4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right) .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 6x2−5x−1=06x^2 - 5x - 1 = 0
    এখানে, a=6,b=−5,c=−1a = 6, b = -5, c = -1
    সমীকরণটির নিশ্চায়ক, D=b2−4ac=(−5)2−4(6)(−1)=25+24=49=72D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(6)(-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2
    যেহেতু নিশ্চায়ক D>0D > 0 এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা, সেহেতু সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান এবং মূলদ।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-১: ax3+bx+c=0ax^3 + bx + c = 0
    বা, ax3+0⋅x2+bx+c=0ax^3 + 0 \cdot x^2 + bx + c = 0
    মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma।
    ∴α+β+γ=−0a=0\therefore \alpha + \beta + \gamma = -\frac{0}{a} = 0
      ⟹  α+β=−γ,β+γ=−α,γ+α=−β\implies \alpha + \beta = -\gamma, \quad \beta + \gamma = -\alpha, \quad \gamma + \alpha = -\beta

    নির্ণেয় সমীকরণের মূলগুলো হলো:
    γ2α+β=γ2−γ=−γ\frac{\gamma^2}{\alpha+\beta} = \frac{\gamma^2}{-\gamma} = -\gamma
    α2β+γ=α2−α=−α\frac{\alpha^2}{\beta+\gamma} = \frac{\alpha^2}{-\alpha} = -\alpha
    β2γ+α=β2−β=−β\frac{\beta^2}{\gamma+\alpha} = \frac{\beta^2}{-\beta} = -\beta

    অতএব, নির্ণেয় সমীকরণের মূলগুলো হলো −α,−β,−γ-\alpha, -\beta, -\gamma।
    প্রদত্ত সমীকরণ ax3+bx+c=0ax^3 + bx + c = 0-এ xx এর স্থলে −x-x বসালেই নির্ণেয় সমীকরণ পাওয়া যাবে:
    a(−x)3+b(−x)+c=0a(-x)^3 + b(-x) + c = 0
      ⟹  −ax3−bx+c=0\implies -ax^3 - bx + c = 0
      ⟹  ax3+bx−c=0\implies ax^3 + bx - c = 0 (Ans.)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-২: (y+ix)13=a+ib(y + ix)^{\frac{1}{3}} = a + ib
    উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
    y+ix=(a+ib)3y + ix = (a + ib)^3
      ⟹  y+ix=a3+3a2(ib)+3a(ib)2+(ib)3\implies y + ix = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3
      ⟹  y+ix=a3+3ia2b−3ab2−ib3\implies y + ix = a^3 + 3ia^2b - 3ab^2 - ib^3
      ⟹  y+ix=(a3−3ab2)+i(3a2b−b3)\implies y + ix = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)

    উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
    y=a3−3ab2=a(a2−3b2)y = a^3 - 3ab^2 = a(a^2 - 3b^2)
    x=3a2b−b3=b(3a2−b2)x = 3a^2b - b^3 = b(3a^2 - b^2)

    এখন, বামপক্ষ:
    =ax+by= ax + by
    =a⋅b(3a2−b2)+b⋅a(a2−3b2)= a \cdot b(3a^2 - b^2) + b \cdot a(a^2 - 3b^2)
    =ab(3a2−b2)+ab(a2−3b2)= ab(3a^2 - b^2) + ab(a^2 - 3b^2)
    =ab(3a2−b2+a2−3b2)= ab(3a^2 - b^2 + a^2 - 3b^2)
    =ab(4a2−4b2)= ab(4a^2 - 4b^2)
    =4ab(a2−b2)= 4ab(a^2 - b^2)
    = ডানপক্ষ
    ∴ax+by=4ab(a2−b2)\therefore ax + by = 4ab(a^2 - b^2) (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন