গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
$y = x^2$ ... (1)
$x = y^2$ ... (2)

(1) নং হতে $y$ এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
$x = (x^2)^2 = x^4$
$\implies x^4 - x = 0$
$\implies x(x^3 - 1) = 0$
$\implies x = 0, 1$

যখন $x = 0$, তখন $y = 0$
যখন $x = 1$, তখন $y = 1$
সুতরাং, ছেদবিন্দুদ্বয় $(0, 0)$ এবং $(1, 1)$।

$x = 0$ হতে $x = 1$ ব্যবধিতে, $y = \sqrt{x}$ বক্ররেখাটি $y = x^2$ এর উপরে অবস্থান করে।

অতএব, সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{3}(1)^3 \right) - 0$
$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ বর্গ একক।

উত্তর: $\frac{1}{3}$ বর্গ একক।