উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

P(x)=mx3+nx2+qx+r P(x)=m x^{3}+n x^{2}+q x+r .

  1. ক)

    m=0 \mathrm{m}=0 এবং n=q=r=1 \mathrm{n}=\mathrm{q}=\mathrm{r}=1 হলে, P(x)=0 \mathrm{P}(\mathrm{x})=0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    P(x)=0 \mathrm{P}(\mathrm{x})=0 সমীকরণের মূনগুলো α,β,γ \alpha, \beta, \gamma হলে, Σα3 \Sigma \alpha^{3} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    এমন একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় যথাক্রমে P(x) = 0 সমীকরণের মূল দুটির সমষ্টি ও অন্তরফলের পরম মান হবে, যেখানে, m = 0, n = 2, 9 = 1, r = -1.

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের প্রশ্নে '9 = 1' মূলত 'q = 1' এর একটি টাইপো।

    দেওয়া আছে, P(x)=mx3+nx2+qx+rP(x) = mx^3 + nx^2 + qx + r
    m=0m = 0 এবং n=q=r=1n = q = r = 1 হলে,
    P(x)=0  ⟹  x2+x+1=0P(x) = 0 \implies x^2 + x + 1 = 0

    সমীকরণটির নিশ্চায়ক, D=b2−4ac=12−4(1)(1)=1−4=−3D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3
    যেহেতু নিশ্চায়ক ঋণাত্মক (D<0D < 0), সেহেতু P(x)=0P(x) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল (বা অবাস্তব), অসমান এবং পরস্পর অনুবন্ধী।

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের প্রশ্নে '9 = 1' মূলত 'q = 1' এর একটি টাইপো।

    P(x)=mx3+nx2+qx+r=0P(x) = mx^3 + nx^2 + qx + r = 0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে,
    α+β+γ=−nm\alpha + \beta + \gamma = -\frac{n}{m}
    αβ+βγ+γα=qm\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{q}{m}
    αβγ=−rm\alpha\beta\gamma = -\frac{r}{m}

    আমরা জানি,
    Σα3=α3+β3+γ3\Sigma \alpha^3 = \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3
    =(α+β+γ)[(α+β+γ)2−3(αβ+βγ+γα)]+3αβγ= (\alpha + \beta + \gamma)[(\alpha + \beta + \gamma)^2 - 3(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)] + 3\alpha\beta\gamma
    =(−nm)[(−nm)2−3(qm)]+3(−rm)= \left(-\frac{n}{m}\right) \left[\left(-\frac{n}{m}\right)^2 - 3\left(\frac{q}{m}\right)\right] + 3\left(-\frac{r}{m}\right)
    =−nm(n2−3mqm2)−3rm= -\frac{n}{m} \left(\frac{n^2 - 3mq}{m^2}\right) - \frac{3r}{m}
    =3mnq−n3−3m2rm3= \frac{3mnq - n^3 - 3m^2 r}{m^3}

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের প্রশ্নে '9 = 1' মূলত 'q = 1' এর একটি টাইপো।

    দেওয়া আছে, m=0,n=2,q=1m = 0, n = 2, q = 1 (প্রশ্নে মুদ্রণজনিত কারণে '9 = 1' মুদ্রিত), r=−1r = -1
    সুতরাং, P(x)=0  ⟹  2x2+x−1=0P(x) = 0 \implies 2x^2 + x - 1 = 0
      ⟹  (2x−1)(x+1)=0\implies (2x - 1)(x + 1) = 0
      ⟹  x=12,−1\implies x = \frac{1}{2}, -1

    সুতরাং সমীকরণের মূল দুটি হলো 12\frac{1}{2} এবং −1-1।
    মূল দুটির সমষ্টি =12+(−1)=−12= \frac{1}{2} + (-1) = -\frac{1}{2}
    মূল দুটির অন্তরফলের পরম মান =∣12−(−1)∣=32= \left|\frac{1}{2} - (-1)\right| = \frac{3}{2}

    অতএব, নির্ণেয় সমীকরণের মূল দুটি −12-\frac{1}{2} ও 32\frac{3}{2}।
    মূলদ্বয়ের যোগফল =−12+32=1= -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1
    মূলদ্বয়ের গুণফল =(−12)(32)=−34= \left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}

    সুতরাং নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
    x2−1⋅x+(−34)=0x^2 - 1\cdot x + \left(-\frac{3}{4}\right) = 0
      ⟹  4x2−4x−3=0\implies 4x^2 - 4x - 3 = 0

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন