উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int \frac{dx}{\sqrt{5 - 3x^2}}$

   হর থেকে $\sqrt{3}$ সাধারণ নিলে:
   $I = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^2 - x^2}}$

   আমরা জানি, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$

   অতএব,
   $I = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5/3}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{5}}\right) + c$, যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে, $g(x) = \cot^{-1}x$
   প্রদত্ত যোগজ: $I = \int_1^{\sqrt{3}} x \cot^{-1}x \, dx$

   খণ্ডশ সমাকলন (Integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করে:
   $\int u v \, dx = u \int v \, dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \, dx \right) dx$
   এখানে, $u = \cot^{-1}x$ এবং $v = x$

   $\int x \cot^{-1}x \, dx = \cot^{-1}x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \left( -\frac{1}{1+x^2} \right) \frac{x^2}{2} \, dx$
   $= \frac{x^2}{2}\cot^{-1}x + \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$
   $= \frac{x^2}{2}\cot^{-1}x + \frac{1}{2}\int \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} \, dx$
   $= \frac{x^2}{2}\cot^{-1}x + \frac{1}{2}\int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx$
   $= \frac{x^2}{2}\cot^{-1}x + \frac{1}{2}\left( x - \tan^{-1}x \right)$

   এখন নির্দিষ্ট সীমার মান বসিয়ে পাই:
   $I = \left[ \frac{x^2}{2}\cot^{-1}x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\tan^{-1}x \right]_1^{\sqrt{3}}$

   উর্ধ্বসীমা $x = \sqrt{3}$ এর জন্য:
   $\frac{3}{2}\cot^{-1}(\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\tan^{-1}(\sqrt{3})$
   $= \frac{3}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

   নিম্নসীমা $x = 1$ এর জন্য:
   $\frac{1}{2}\cot^{-1}(1) + \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}\tan^{-1}(1)$
   $= \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$

   অতএব, $I = \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   পরাবৃত্ত: $y^2 = 2x \implies x = \frac{y^2}{2}$ ... (1)
   সরলরেখা: $x = 3y$ ... (2)

   ছেদবিন্দু নির্ণয়:
   (1) ও (2) হতে পাই,
   $\frac{y^2}{2} = 3y$
   $\implies y^2 - 6y = 0$
   $\implies y(y - 6) = 0$
   $\therefore y = 0, \, 6$

   যেহেতু $0 \le y \le 6$ ব্যবধিতে রেখাটি ($x_1 = 3y$) পরাবৃত্তের ($x_2 = \frac{y^2}{2}$) ডানপাশে অবস্থিত, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_0^6 (x_1 - x_2) \, dy$
   $= \int_0^6 \left(3y - \frac{y^2}{2}\right) dy$
   $= \left[ \frac{3y^2}{2} - \frac{y^3}{6} \right]_0^6$
   $= \left( \frac{3 \times 36}{2} - \frac{216}{6} \right) - 0$
   $= 54 - 36 = 18$ বর্গ একক।

   অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ১৮ বর্গ একক।