∫23x230−x3dx=\int_{2}^{3} \frac{x^2}{30 - x^3} dx = কত?

Question

Accepted Answer

খ. 13ln⁡223\frac{1}{3}\ln\frac{22}{3}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজ:
$I = \int_{2}^{3} \frac{x^2}{30 - x^3} \, dx$

ধরি, $z = 30 - x^3$
উভয়পক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
$dz = -3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = -\frac{1}{3} \, dz$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 2$, তখন $z = 30 - 2^3 = 30 - 8 = 22$
যখন $x = 3$, তখন $z = 30 - 3^3 = 30 - 27 = 3$

সুতরাং,
$I = \int_{22}^{3} \frac{-\frac{1}{3} \, dz}{z} = -\frac{1}{3} [\ln |z|]_{22}^{3} = -\frac{1}{3} (\ln 3 - \ln 22) = \frac{1}{3} (\ln 22 - \ln 3) = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{22}{3}\right)$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন