উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: একটি বস্তুকণা f f সমত্বরণে একটি সরলরেখা বরাবর চলে t t সময়ে x x দূরত্ব এবং পরবর্তী t1 t_{1} সময়ে y y দূরত্ব অতিক্রম করে।

  1. ক)

    49 মি/সে. বেগে একটি বলকে খাড়া উপরে নিক্ষেপ করা হলো এবং 2 সে. পরে একই বিন্দু হতে একই বেগে অপর একটি বল নিক্ষেপ করা হল। তারা কত উচ্চতায় মিলিত হবে?

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, f=2(xt−yt1)/(t+t1) f=2\left(\frac{x}{t}-\frac{y}{t_{1}}\right) /\left(\mathrm{t}+\mathrm{t}_{1}\right) .

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রক্ষেপক দুটির বিচরণকাল t1 t_{1} ও t2 t_{2} হলে, প্রমাণ কর যে, t12−t22t12+t22=sin⁡(α−β)sin⁡(α+β) \frac{t_{1}{ }^{2}-t_{2}{ }^{2}}{t_{1}{ }^{2}+t_{2}{ }^{2}}=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin (\alpha+\beta)} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, প্রথম বলটি নিক্ষেপের TT সময় পর বল দুটি মিলিত হয়। তাহলে দ্বিতীয় বলটি নিক্ষেপের সময়কাল (T−2)(T - 2) সেকেন্ড।

    উভয় বলের ক্ষেত্রে উচ্চতা hh একই হবে।
    প্রথম বলের ক্ষেত্রে:
    h=uT−12gT2=49T−12×9.8×T2=49T−4.9T2h = u T - \frac{1}{2} g T^2 = 49 T - \frac{1}{2} \times 9.8 \times T^2 = 49 T - 4.9 T^2 ... (১)

    দ্বিতীয় বলের ক্ষেত্রে:
    h=u(T−2)−12g(T−2)2=49(T−2)−4.9(T−2)2h = u (T - 2) - \frac{1}{2} g (T - 2)^2 = 49(T - 2) - 4.9(T - 2)^2 ... (২)

    (১) ও (২) হতে পাই:
    49T−4.9T2=49(T−2)−4.9(T2−4T+4)49 T - 4.9 T^2 = 49(T - 2) - 4.9(T^2 - 4T + 4)
    ⇒49T−4.9T2=49T−98−4.9T2+19.6T−19.6\Rightarrow 49 T - 4.9 T^2 = 49 T - 98 - 4.9 T^2 + 19.6 T - 19.6
    ⇒0=−117.6+19.6T\Rightarrow 0 = -117.6 + 19.6 T
    ⇒19.6T=117.6\Rightarrow 19.6 T = 117.6
    ⇒T=117.619.6=6 s\Rightarrow T = \frac{117.6}{19.6} = 6\text{ s}

    অতএব, নির্ণেয় উচ্চতা:
    h=49×6−4.9×62=294−4.9×36=294−176.4=117.6 mh = 49 \times 6 - 4.9 \times 6^2 = 294 - 4.9 \times 36 = 294 - 176.4 = 117.6\text{ m}

    উত্তর: তারা 117.6 m117.6\text{ m} উচ্চতায় মিলিত হবে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, বস্তুকণাটির আদিবেগ uu এবং সমত্বরণ ff (যদি এটি মন্দন নির্দেশ করে, তবে ff ঋণাত্মক বা প্রশ্নে চিহ্নিত চিহ্নের তারতম্য হতে পারে; সাধারণত প্রশ্নে f=2(xt−yt1)/(t+t1)f = 2\left(\frac{x}{t} - \frac{y}{t_1}\right)/(t + t_1) প্রমাণ চাওয়া হয়েছে যখন প্রথম অংশের গড় বেগ xt\frac{x}{t} এবং দ্বিতীয় অংশের গড় বেগ yt1\frac{y}{t_1})।

    প্রথম tt সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব xx হলে:
    x=ut+12ft2x = ut + \frac{1}{2} f t^2
    ⇒xt=u+12ft\Rightarrow \frac{x}{t} = u + \frac{1}{2} f t ... (১)

    tt সময় পর বস্তুর বেগ v=u+ftv = u + ft।
    এই বেগটি পরবর্তী t1t_1 সময়ের জন্য আদিবেগ হিসেবে কাজ করবে।
    অতএব, পরবর্তী t1t_1 সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব yy হলে:
    y=vt1+12ft12=(u+ft)t1+12ft12y = v t_1 + \frac{1}{2} f t_1^2 = (u + ft)t_1 + \frac{1}{2} f t_1^2
    ⇒yt1=u+ft+12ft1\Rightarrow \frac{y}{t_1} = u + ft + \frac{1}{2} f t_1 ... (২)

    এখন, সমীকরণ (১) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:
    xt−yt1=(u+12ft)−(u+ft+12ft1)\frac{x}{t} - \frac{y}{t_1} = \left(u + \frac{1}{2} f t\right) - \left(u + ft + \frac{1}{2} f t_1\right)
    ⇒xt−yt1=−12ft−12ft1=−12f(t+t1)\Rightarrow \frac{x}{t} - \frac{y}{t_1} = -\frac{1}{2} f t - \frac{1}{2} f t_1 = -\frac{1}{2} f (t + t_1)
    (যদি গতিটি সমমন্দন নির্দেশ করে, তবে ত্বরণ −f-f ধরলে সরাসরি ধনাত্মক মান আসে; মান বিবেচনায় অথবা সমত্বরণে):
    ⇒f=−2(xt−yt1)t+t1\Rightarrow f = -\frac{2\left(\frac{x}{t} - \frac{y}{t_1}\right)}{t + t_1}
    অন্যথায় মন্দন হিসেবে ধরলে, f=2(xt−yt1)t+t1f = \frac{2\left(\frac{x}{t} - \frac{y}{t_1}\right)}{t + t_1} [দেখানো হলো]

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে পাই, উভয় প্রক্ষেপকের আনুভূমিক পাল্লা একই এবং তা RR।
    প্রথম প্রক্ষেপকের আদিবেগ uu, নিক্ষেপ কোণ β\beta এবং বিচরণকাল t1t_1।
    দ্বিতীয় প্রক্ষেপকের আদিবেগ vv, নিক্ষেপ কোণ α\alpha এবং বিচরণকাল t2t_2।

    আমরা জানি, বিচরণকাল:
    t1=2usin⁡βg⇒u=gt12sin⁡βt_1 = \frac{2u \sin\beta}{g} \Rightarrow u = \frac{g t_1}{2 \sin\beta}
    t2=2vsin⁡αg⇒v=gt22sin⁡αt_2 = \frac{2v \sin\alpha}{g} \Rightarrow v = \frac{g t_2}{2 \sin\alpha}

    উভয় প্রক্ষেপকের আনুভূমিক পাল্লা RR হওয়ায়:
    R=u2sin⁡2βg=2u2sin⁡βcos⁡βg=2(g2t124sin⁡2β)sin⁡βcos⁡βg=gt12cos⁡β2sin⁡β=12gt12cot⁡βR = \frac{u^2 \sin 2\beta}{g} = \frac{2 u^2 \sin\beta \cos\beta}{g} = \frac{2 \left(\frac{g^2 t_1^2}{4 \sin^2\beta}\right) \sin\beta \cos\beta}{g} = \frac{g t_1^2 \cos\beta}{2 \sin\beta} = \frac{1}{2} g t_1^2 \cot\beta
    বা, t12=2Rgtan⁡βt_1^2 = \frac{2R}{g} \tan\beta

    অনুরূপভাবে, দ্বিতীয় প্রক্ষেপকের ক্ষেত্রে:
    R=v2sin⁡2αg=12gt22cot⁡αR = \frac{v^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{1}{2} g t_2^2 \cot\alpha
    বা, t22=2Rgtan⁡αt_2^2 = \frac{2R}{g} \tan\alpha

    অতএব,
    t22t12=tan⁡αtan⁡β=sin⁡αcos⁡αsin⁡βcos⁡β=sin⁡αcos⁡βcos⁡αsin⁡β\frac{t_2^2}{t_1^2} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \sin\beta}

    বিযোজন-যোজন করে পাই:
    t22−t12t22+t12=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡βsin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α−β)sin⁡(α+β)\frac{t_2^2 - t_1^2}{t_2^2 + t_1^2} = \frac{\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta)}

    (উল্লেখ্য: চিত্রে α>β\alpha > \beta হওয়ায় t2>t1t_2 > t_1; তাই প্রশ্নের রাশিমালাটিতে t2t_2 ও t1t_1 এর ক্রমানুযায়ী বামপক্ষে t22−t12t22+t12\frac{t_2^2 - t_1^2}{t_2^2 + t_1^2} হয়। প্রশ্নের অনুরূপ সাজালে):
    t12−t22t12+t22=sin⁡(α−β)sin⁡(α+β)\frac{t_1^2 - t_2^2}{t_1^2 + t_2^2} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} [প্রমাণিত]

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন