গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $y = f(x) = x^{\frac{1}{x}}$
উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,
$\ln y = \frac{1}{x} \ln x$

$x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{x} \right)$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) = x^{\frac{1}{x}} \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right)$

গুরুমান বা লঘুমানের জন্য, $\frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow x^{\frac{1}{x}} \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) = 0$
যেহেতু $x^{\frac{1}{x}} \neq 0$,
$\therefore 1 - \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$

এখন, দ্বিতীয় অন্তরজ নির্ণয় করি:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[ y \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} \right] = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) + y \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - \ln x}{x^2} \right)$

$x = e$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = 0$, সুতরাং:
$\left[ \frac{d^2y}{dx^2} \right]_{x=e} = 0 + y(e) \cdot \left[ \frac{x^2 \left(-\frac{1}{x}\right) - (1 - \ln x)(2x)}{x^4} \right]_{x=e}$
$\Rightarrow \left[ \frac{d^2y}{dx^2} \right]_{x=e} = e^{\frac{1}{e}} \cdot \left[ \frac{-e - (1 - 1)(2e)}{e^4} \right] = e^{\frac{1}{e}} \left( -\frac{e}{e^4} \right) = -\frac{e^{\frac{1}{e}}}{e^3} < 0$

যেহেতু $\left[ \frac{d^2y}{dx^2} \right]_{x=e} < 0$, সুতরাং $x = e$ বিন্দুতে $f(x)$ এর মান বৃহত্তম (সর্বোচ্চ)। (দেখানো হলো)