গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\theta=30^\circ$ হলে $\tan30^\circ=\dfrac1{\sqrt3}$ এবং $\sec30^\circ=\dfrac2{\sqrt3}$।

   বামপক্ষ $=\dfrac{\tan\theta}{\sec\theta+1}=\dfrac{\frac1{\sqrt3}}{\frac2{\sqrt3}+1}=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ [লব-হরকে $\sqrt3$ দিয়ে গুণ করে]

   $=\dfrac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\dfrac{2-\sqrt3}{4-3}=2-\sqrt3$ = ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

2. খ)

   ধরি, গাছ $AB=51$ মিটার, প্রথম বিন্দু $C$ এবং $y$ মিটার পিছনের বিন্দু $D$। $\angle ACB=60^\circ$, $\angle ADB=30^\circ$।

   $\triangle ABC$-এ $\tan60^\circ=\dfrac{AB}{BC}$, বা $BC=\dfrac{51}{\sqrt3}=17\sqrt3$

   $\triangle ABD$-এ $\tan30^\circ=\dfrac{AB}{BD}$, বা $BD=51\sqrt3$

   $y=CD=BD-BC=51\sqrt3-17\sqrt3=34\sqrt3$

   উত্তর: $y=34\sqrt3$ মিটার (প্রায় $58.89$ মিটার)

3. গ)

   ধরি, বেলুনের অবস্থান $B$, ভূমি থেকে উচ্চতা $BH=h$ মিটার ($H$ হলো $PQ$-এর ওপর পাদবিন্দু)।

   $P$ থেকে অবনতি কোণ $45^\circ$, তাই $\angle BPH=45^\circ$ এবং $PH=\dfrac h{\tan45^\circ}=h$।

   $Q$ থেকে অবনতি কোণ $60^\circ$, তাই $\angle BQH=60^\circ$ এবং $QH=\dfrac h{\tan60^\circ}=\dfrac h{\sqrt3}$।

   $PH+HQ=PQ$ থেকে, $h+\dfrac h{\sqrt3}=1000$

   বা, $h\cdot\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3}=1000$

   বা, $h=\dfrac{1000\sqrt3}{\sqrt3+1}=\dfrac{1000\sqrt3(\sqrt3-1)}2=500(3-\sqrt3)=1500-500\sqrt3$

   উত্তর: বেলুনের উচ্চতা $500(3-\sqrt3)$ মিটার, প্রায় $633.97$ মিটার