পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আদর্শ পরিমিত চলকের ভেদাঙ্ক 1।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, দ্বিপদী বিন্যাস পরিমিত বিন্যাসে পরিণত হতে পারে।
   দ্বিপদী বিন্যাসে যদি চেষ্টার সংখ্যা $n$ অত্যন্ত বৃহৎ হয় (অর্থাৎ $n \to \infty$) এবং সাফল্য ও ব্যর্থতার সম্ভাবনা প্রায় সমান হয় (অর্থাৎ $p \approx q \approx 0.5$, যাতে $p$ বা $q$ এর কোনোটিই 0 বা 1-এর খুব কাছাকাছি না হয়), তবে দ্বিপদী বিন্যাস একটি অবিচ্ছিন্ন পরিমিত বিন্যাসে রূপান্তরিত হয়। এ ক্ষেত্রে বিন্যাসটির গড় $\mu = np$ এবং ভেদাঙ্ক $\sigma^2 = npq$ হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, ক্রেতার সংখ্যা $X$ পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যার গড় $\lambda = 3$।
   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক হলো:
   $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$; যেখানে $x = 0, 1, 2, \dots$

   এখানে $\lambda = 3$।
   অতএব,
   $P(X \ge 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)$
   $P(X = 0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} = e^{-3} \approx 0.0498$

   অতএব,
   $P(X \ge 1) = 1 - 0.0498 = 0.9502$

   সুতরাং, $P(X \ge 1) \approx 0.9502$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুযায়ী, পৈঁসু চলক $X$-এর পরামিতি $\lambda = 3$।
   আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$

   এখন,
   $P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} = 4.5 \cdot e^{-3} \approx 4.5 \times 0.049787 = 0.2240$
   এবং,
   $P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{27 \cdot e^{-3}}{6} = 4.5 \cdot e^{-3} \approx 4.5 \times 0.049787 = 0.2240$

   সম্পর্কের ব্যাখ্যা:
   আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, $P(X = 2) = P(X = 3) = 4.5 e^{-3} \approx 0.2240$।
   পৈঁসু বিন্যাসের ক্ষেত্রে দুটি ক্রমিক মানের সম্ভাবনার অনুপাত:
   $\frac{P(X = x)}{P(X = x - 1)} = \frac{\lambda}{x}$
   এখানে $\lambda = 3$ এবং $x = 3$ হলে,
   $\frac{P(X = 3)}{P(X = 2)} = \frac{3}{3} = 1$, যা নির্দেশ করে $P(X = 2) = P(X = 3)$।
   যেহেতু পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি $\lambda = 3$ একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই বিন্যাসটি দ্বিমোরাল (Bimodal) এবং এর প্রচুরক মান দুটি, যা হলো $x = 2$ এবং $x = 3$। এ কারণে উভয় বিন্দুতে সম্ভাবনা সমান।