উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $P(A) = \frac{1}{2}$ এবং $P(B) = \frac{3}{5}$
   যেহেতু $A$ ও $B$ স্বাধীন ঘটনা,
   $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$

   আমরা জানি,
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
   $= \frac{1}{2} + \frac{3}{5} - \frac{3}{10}$
   $= \frac{5 + 6 - 3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

   অতএব, $P(A \cup B) = \frac{4}{5}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করি (শ্রেণিব্যাপ্তিকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমায় রূপান্তর করে):

   শ্রেণিব্যাপ্তি	প্রকৃত শ্রেণিসীমা	গণসংখ্যা ($f$)	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($F_c$)
   10-16	9.5 - 16.5	5	5
   17-22	16.5 - 22.5	4	9
   23-28	22.5 - 28.5	10	19
   29-34	28.5 - 34.5	12	31
   35-40	34.5 - 40.5	8	39
   41-46	40.5 - 46.5	4	43
   47-52	46.5 - 52.5	7	50

   মোট গণসংখ্যা, $N = 50$

   প্রথম চতুর্থক ($Q_1$) নির্ণয়:
   $\frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5$
   $12.5$-তম পদটি $(22.5 - 28.5)$ শ্রেণিতে অবস্থিত।
   সুতরাং, $Q_1$ শ্রেণি হলো $22.5 - 28.5$
   এখানে, নিম্নসীমা $L_1 = 22.5$, পূর্ববর্তী ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $F_{c1} = 9$, ওই শ্রেণির গণসংখ্যা $f_{q1} = 10$, শ্রেণি ব্যবধান $c_1 = 6$
   $Q_1 = L_1 + \frac{\frac{N}{4} - F_{c1}}{f_{q1}} \times c_1 = 22.5 + \frac{12.5 - 9}{10} \times 6 = 22.5 + \frac{3.5 \times 6}{10} = 22.5 + 2.1 = 24.6$

   তৃতীয় চতুর্থক ($Q_3$) নির্ণয়:
   $\frac{3N}{4} = \frac{3 \times 50}{4} = 37.5$
   $37.5$-তম পদটি $(34.5 - 40.5)$ শ্রেণিতে অবস্থিত।
   সুতরাং, $Q_3$ শ্রেণি হলো $34.5 - 40.5$
   এখানে, নিম্নসীমা $L_3 = 34.5$, পূর্ববর্তী ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $F_{c3} = 31$, ওই শ্রেণির গণসংখ্যা $f_{q3} = 8$, শ্রেণি ব্যবধান $c_3 = 6$
   $Q_3 = L_3 + \frac{\frac{3N}{4} - F_{c3}}{f_{q3}} \times c_3 = 34.5 + \frac{37.5 - 31}{8} \times 6 = 34.5 + \frac{6.5 \times 6}{8} = 34.5 + 4.875 = 39.375$

   চতুর্থক ব্যবধান ($QD$):
   $QD = \frac{Q_3 - Q_1}{2} = \frac{39.375 - 24.6}{2} = \frac{14.775}{2} = 7.3875$

   অতএব, চতুর্থক ব্যবধান প্রায় $7.39$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি,
   ফুটবল খেলার ঘটনা = $F$
   ক্রিকেট খেলার ঘটনা = $C$

   মোট ছাত্র সংখ্যা, $n(S) = 100$
   ফুটবল খেলে এমন ছাত্র সংখ্যা, $n(F) = 30$
   ক্রিকেট খেলে এমন ছাত্র সংখ্যা, $n(C) = 40$
   ফুটবল ও ক্রিকেট উভয়ই খেলে এমন ছাত্র সংখ্যা, $n(F \cap C) = 20$

   অতএব,
   $P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$
   $P(F \cap C) = \frac{n(F \cap C)}{n(S)} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$

   প্রশ্নমতে, ছেলেটি ক্রিকেট খেললে তার ফুটবল খেলার সম্ভাবনা, অর্থাৎ শর্তাধীন সম্ভাবনা $P(F|C)$ নির্ণয় করতে হবে:
   $P(F|C) = \frac{P(F \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{20}{100}}{\frac{40}{100}} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0.5$

   অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$ বা $0.5$।