পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ঘূর্ণনশীল কোনো কণার ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং প্রযুক্ত বলের ভেক্টর গুণফলকে টর্ক বা বলের ভ্রামক বলে। অর্থাৎ, $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পৃথিবীর ঘূর্ণনের কারণে অক্ষাংশ $\lambda$-তে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান হয়: $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$।
   যদি পৃথিবীর নিজ অক্ষের চারপাশের ঘূর্ণন হঠাৎ থেমে যায়, তবে কৌণিক বেগ $\omega = 0$ হয়ে যাবে। ফলে সমীকরণ অনুযায়ী সর্বত্র $g' = g$ হবে।
   এর ফলে:
   ১. বিষুব অঞ্চলে ($\lambda = 0^\circ$) অভিকর্ষজ ত্বরণের মান সবচেয়ে বেশি বৃদ্ধি পাবে।
   ২. মেরু অঞ্চলে ($\lambda = 90^\circ$) যেহেতু $\cos 90^\circ = 0$, তাই সেখানে অভিকর্ষজ ত্বরণের মানের কোনো পরিবর্তন হবে না।
   ৩. মেরু অঞ্চল ছাড়া অন্যান্য সকল স্থানে $g$-এর মান বৃদ্ধি পাবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ১ম দণ্ডের ক্ষেত্রে,
   প্রাথমিক কৌণিক বেগ, $\omega_0 = 2\pi f_1 = \frac{2\pi \times 300}{60} = 10\pi\text{ rad/s} \approx 31.416\text{ rad/s}$
   থেমে যাওয়ার ফলে শেষ কৌণিক বেগ, $\omega = 0$
   সময়, $t = 20\text{ s}$

   কৌণিক সরণ,
   $\theta = \left(\frac{\omega_0 + \omega}{2}\right) t$
   $\Rightarrow \theta = \left(\frac{10\pi + 0}{2}\right) \times 20 = 100\pi\text{ rad}$

   ঘূর্ণন সংখ্যা $N$ হলে,
   $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{100\pi}{2\pi} = 50$

   অতএব, মোটরটি বন্ধ হয়ে যাবার পর ১ম দণ্ডটি ৫০টি পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করবে।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সরু সুষম দণ্ডের দৈর্ঘ্যের লম্বভাবে মধ্যবিন্দুগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক, $I = \frac{1}{12} M L^2$

   ১ম দণ্ডের ক্ষেত্রে:
   ভর, $M_1 = 10\text{ kg}$
   দৈর্ঘ্য, $L_1 = 1\text{ m}$
   জড়তার ভ্রামক, $I_1 = \frac{1}{12} M_1 L_1^2 = \frac{1}{12} \times 10 \times (1)^2 = \frac{10}{12} = 0.833\text{ kg}\cdot\text{m}^2$
   কৌণিক বেগ, $\omega_1 = \frac{2\pi \times 300}{60} = 10\pi\text{ rad/s}$
   অতএব, ১ম দণ্ডের কৌণিক গতিশক্তি,
   $E_{k1} = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{12} \times (10\pi)^2 = \frac{1000\pi^2}{24} \approx 411.23\text{ J}$

   ২য় দণ্ডের ক্ষেত্রে:
   ভর, $M_2 = 20\text{ kg}$
   দৈর্ঘ্য, $L_2 = 0.707\text{ m} \approx \frac{1}{\sqrt{2}}\text{ m}$
   জড়তার ভ্রামক, $I_2 = \frac{1}{12} M_2 L_2^2 = \frac{1}{12} \times 20 \times (0.707)^2 \approx \frac{1}{12} \times 20 \times 0.5 = \frac{10}{12} = 0.833\text{ kg}\cdot\text{m}^2$
   কৌণিক বেগ, $\omega_2 = \frac{2\pi \times 360}{60} = 12\pi\text{ rad/s}$
   অতএব, ২য় দণ্ডের কৌণিক গতিশক্তি,
   $E_{k2} = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{12} \times (12\pi)^2 = \frac{1440\pi^2}{24} \approx 592.18\text{ J}$

   তুলনা:
   $\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2}{\frac{1}{2} I_2 \omega_2^2} = \frac{(10\pi)^2}{(12\pi)^2} = \frac{100}{144} = \frac{25}{36} \approx 0.694$
   বা, $E_{k2} = 1.44 E_{k1}$

   সুতরাং, ২য় দণ্ডের কৌণিক গতিশক্তি ১ম দণ্ডের কৌণিক গতিশক্তির প্রায় ১.৪৪ গুণ।