Evaluate ∫37xx−3dx \int_{3}^{7} x \sqrt{x - 3} dx

Question

Evaluate  ∫37xx−3dx \int_{3}^{7} x \sqrt{x - 3} dx

Accepted Answer

গ. 1445 \frac{144}{5}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি হলো:
$$I = \int_{3}^{7} x \sqrt{x - 3} \, dx$$

ধরি, $u = x - 3$, তাহলে $x = u + 3$ এবং $dx = du$।

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 3$, তখন $u = 3 - 3 = 0$
যখন $x = 7$, তখন $u = 7 - 3 = 4$

সুতরাং,
$$I = \int_{0}^{4} (u + 3)\sqrt{u} \, du$$
$$= \int_{0}^{4} (u^{3/2} + 3u^{1/2}) \, du$$
$$= \left[ \frac{u^{5/2}}{\frac{5}{2}} + 3 \cdot \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$$
$$= \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} + 2 u^{3/2} \right]_{0}^{4}$$

মান বসিয়ে পাই:
$$I = \left( \frac{2}{5} \cdot 4^{5/2} + 2 \cdot 4^{3/2} \right) - 0$$
$$= \frac{2}{5} \cdot 32 + 2 \cdot 8$$
$$= \frac{64}{5} + 16 = \frac{64 + 80}{5} = \frac{144}{5}$$

অতএব, সঠিক উত্তর হলো Option 3 (\frac{144}{5})।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন