গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ১. একটি রেখাংশ $AB = 4$ সে.মি. আঁকি।
   ২. $A$ ও $B$ বিন্দুতে $AB$ এর উপর লম্ব $AX$ ও $BY$ আঁকি এবং এদের উপর $AD = BC = 4$ সে.মি. কেটে নিই।
   ৩. $D$ ও $C$ যুক্ত করি। $ABCD$ ই নির্ণেয় বর্গ, যার প্রতি বাহু $4$ সে.মি.।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNP$ এ $S, Q, R$ যথাক্রমে $NP, MN, MP$ এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ $MS, NR, PQ$ তিনটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে $MS + NR + PQ < MN + NP + MP$।

   অঙ্কন: $MS$ কে $T$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $ST = MS$ হয়। $P, T$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $\triangle MNS$ ও $\triangle PTS$ এ $NS = PS$, $MS = TS$ এবং $\angle MSN = \angle PST$ (বিপ্রতীপ কোণ)। তাই $\triangle MNS \cong \triangle PTS$, ফলে $PT = MN$।

   $\triangle MPT$ এ $MT < MP + PT$ বা $2MS < MP + MN$ ...... (১)

   একইভাবে, $2NR < MN + NP$ ...... (২) এবং $2PQ < MP + NP$ ...... (৩)

   (১), (২), (৩) যোগ করে পাই,
   $2(MS + NR + PQ) < 2(MN + NP + MP)$

   সুতরাং $MS + NR + PQ < MN + NP + MP$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNP$ এ $Q, R$ যথাক্রমে $MN, MP$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $QR = \dfrac{1}{2}NP$ এবং $QR \parallel NP$।

   অঙ্কন: $QR$ কে $T$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $RT = QR$ হয়। $P, T$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $\triangle MQR$ ও $\triangle PTR$ এ $MR = PR$ ($R$ মধ্যবিন্দু), $QR = TR$ এবং $\angle MRQ = \angle PRT$ (বিপ্রতীপ কোণ)। তাই $\triangle MQR \cong \triangle PTR$।
   সুতরাং $PT = MQ = NQ$ এবং $\angle QMR = \angle TPR$। এরা একান্তর কোণ, তাই $MN \parallel PT$, অর্থাৎ $NQ \parallel PT$।

   $NQ$ ও $PT$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $NQTP$ একটি সামান্তরিক। অতএব $QT \parallel NP$ এবং $QT = NP$।

   যেহেতু $QR = \dfrac{1}{2}QT$, তাই $QR \parallel NP$ এবং $QR = \dfrac{1}{2}NP$। (প্রমাণিত)