△PQR triangle PQR ও △XYZ−এ∠P=∠X,∠Q=∠Y,∠R=∠Z triangle XY…

গণিত • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২০

△PQR \triangle \mathrm{PQR} ও △XYZ−এ∠P=∠X,∠Q=∠Y,∠R=∠Z \triangle \mathrm{XYZ}-এ \angle \mathrm{P}=\angle \mathrm{X}, \angle \mathrm{Q}=\angle \mathrm{Y}, \angle \mathrm{R}=\angle \mathrm{Z}

ক)
একটি ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
(1)
খ)
প্রমাণ কর মে, PQXY=PRXZ=QRYZ \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{XZ}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{YZ}}
(2)
গ)
△PQR \quad \triangle P Q R এর ∠P \angle P এর সমদ্বিখণ্ডক QR Q R কে D D বিন্দুতে ছেদ করে এবং QR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ ও PR কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, QD: DR = QM : RN
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
অঙ্কন:

১. যেকোনো ত্রিভুজ $ABC$ আঁকি।

২. $AB$ ও $BC$ -এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকি (দুই প্রান্ত থেকে সমান ব্যাসার্ধে চাপ কেটে)। তারা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। বৃত্তটি $A,B,C$ তিন শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।

$\therefore$ এটিই $\triangle ABC$ -এর পরিবৃত্ত ( $OA=OB=OC$ )।
খ)
বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$ ও $\triangle XYZ$ -এ $\angle P=\angle X$ , $\angle Q=\angle Y$ , $\angle R=\angle Z$ । প্রমাণ করতে হবে $\frac{PQ}{XY}=\frac{PR}{XZ}=\frac{QR}{YZ}$ ।

অঙ্কন: $XY$ থেকে $XA=PQ$ এবং $XZ$ থেকে $XB=PR$ কাটি ( $PQ<XY$ ধরে; নইলে ত্রিভুজ দুইটির ভূমিকা বদলে নিই)। $A,B$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle PQR$ ও $\triangle XAB$ -এ $PQ=XA$ , $PR=XB$ এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle P=\angle X$ । $\therefore\triangle PQR\cong\triangle XAB$ (বাহু-কোণ-বাহু); তাই $\angle XAB=\angle Q=\angle Y$ । এরা অনুরূপ কোণ, তাই $AB\parallel YZ$ ।

$\triangle XYZ$ -এ $AB\parallel YZ$ বলে $\frac{XY}{XA}=\frac{XZ}{XB}$ বা, $\frac{XY}{PQ}=\frac{XZ}{PR}$ , অর্থাৎ $\frac{PQ}{XY}=\frac{PR}{XZ}$ ।

একইভাবে $Y$ বিন্দু থেকে $YM=QP$ ও $YN=QR$ কেটে ( $M$ $YX$ -এর ওপর, $N$ $YZ$ -এর ওপর) দেখানো যায় $MN\parallel XZ$ , ফলে $\frac{YX}{YM}=\frac{YZ}{YN}$ বা, $\frac{PQ}{XY}=\frac{QR}{YZ}$ ।

$\therefore\frac{PQ}{XY}=\frac{PR}{XZ}=\frac{QR}{YZ}$ (প্রমাণিত)
গ)
বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$ -এ $\angle P$ -এর সমদ্বিখণ্ডক $PD$ , $QR$ -কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে; $MN\parallel QR$ , $M$ $PQ$ -এর ওপর ও $N$ $PR$ -এর ওপর। প্রমাণ করতে হবে $QD:DR=QM:RN$ ।

প্রমাণ: $PD$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক বলে ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখণ্ডক উপপাদ্য অনুযায়ী $\frac{QD}{DR}=\frac{PQ}{PR}$ ... (১)

$MN\parallel QR$ বলে $\frac{PM}{PQ}=\frac{PN}{PR}$ (সদৃশ ত্রিভুজ বা সমানুপাতিক উপপাদ্য)।

বা, $1-\frac{PM}{PQ}=1-\frac{PN}{PR}$ বা, $\frac{PQ-PM}{PQ}=\frac{PR-PN}{PR}$ বা, $\frac{QM}{PQ}=\frac{RN}{PR}$

বা, $\frac{QM}{RN}=\frac{PQ}{PR}$ ... (২)

(১) ও (২) থেকে $\frac{QD}{DR}=\frac{QM}{RN}$

$\therefore QD:DR=QM:RN$ (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন