উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $(a - x)^4$ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ:
   $T_{r+1} = \binom{4}{r} a^{4-r} (-x)^r = \binom{4}{r} (-1)^r a^{4-r} x^r$

   $x^3$ এর সহগের জন্য $r = 3$:
   সহগ $= \binom{4}{3} (-1)^3 a^{4-3} = 4 \cdot (-1) \cdot a = -4a$

   প্রশ্নমতে,
   $-4a = 16$
   $\implies a = -4$

   অতএব, $a = -4$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক থেকে, $z = 2x + 3y$
   দেওয়া আছে, $y = -\frac{1}{x^2}$
   $\therefore z = 2x - \frac{3}{x^2}$

   এখন, $z^{12} = \left(2x - \frac{3}{x^2}\right)^{12}$
   এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ:
   $T_{r+1} = \binom{12}{r} (2x)^{12-r} \left(-\frac{3}{x^2}\right)^r$
   $= \binom{12}{r} 2^{12-r} (-3)^r x^{12-r-2r}$
   $= \binom{12}{r} 2^{12-r} (-3)^r x^{12-3r}$

   পদটি $x$-বর্জিত হওয়ার জন্য,
   $12 - 3r = 0 \implies 3r = 12 \implies r = 4$

   সুতরাং, $x$-বর্জিত পদটির মান:
   $T_{4+1} = \binom{12}{4} 2^{12-4} (-3)^4$
   $= \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 2^8 \times 81$
   $= 495 \times 256 \times 81 = 10,264,320$

   অতএব, $x$-বর্জিত পদটির মান $10264320$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দেশ্য অপেক্ষক: $Z = 2x + 3y$
   শর্তসমূহ:
   $x + 2y \le 8$ ... (1)
   $x - y \le 6$ ... (2)
   $x \ge 0, y \ge 0$ ... (3)

   অনুরূপ সমীকরণসমূহ:
   $x + 2y = 8 \implies \frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1$ ... (i)
   এটি অক্ষদ্বয়কে $(8, 0)$ ও $(0, 4)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   $x - y = 6 \implies \frac{x}{6} + \frac{y}{-6} = 1$ ... (ii)
   এটি অক্ষদ্বয়কে $(6, 0)$ ও $(0, -6)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   যেহেতু মূলবিন্দু $(0, 0)$ উভয় অসমতাকে সিদ্ধ করে ($0 \le 8$ এবং $0 \le 6$), এবং $x \ge 0, y \ge 0$ নির্দেশ করে অঞ্চলটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

   (i) ও (ii) সমীকরণদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়:
   (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
   $3y = 2 \implies y = \frac{2}{3}$
   তাহলে, $x = 6 + y = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$
   ছেদবিন্দুটি $\left(\frac{20}{3}, \frac{2}{3}\right)$।

   অনুকূল সমাধান অঞ্চলের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:
   $O(0, 0)$, $A(6, 0)$, $B\left(\frac{20}{3}, \frac{2}{3}\right)$, এবং $C(0, 4)$।

   শীর্ষবিন্দুগুলোতে $Z$ এর মান নির্ণয়:
   ১. $O(0, 0)$ বিন্দুতে: $Z = 2(0) + 3(0) = 0$
   ২. $A(6, 0)$ বিন্দুতে: $Z = 2(6) + 3(0) = 12$
   ৩. $B\left(\frac{20}{3}, \frac{2}{3}\right)$ বিন্দুতে: $Z = 2\left(\frac{20}{3}\right) + 3\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{40}{3} + 2 = \frac{46}{3} \approx 15.33$
   ৪. $C(0, 4)$ বিন্দুতে: $Z = 2(0) + 3(4) = 12$

   অতএব, $B\left(\frac{20}{3}, \frac{2}{3}\right)$ বিন্দুতে $Z$ এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায় এবং তা হলো $\frac{46}{3}$ (বা $15\frac{1}{3}$)।