উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c এবং g(x)=x2−px+q.g(x) = x^2 - px + q.

  1. ক)

    3x2−mx+4=03x^2 - mx + 4 = 0 সমীকরণের একটি মূল অপর মূলটির তিনগুণ হলে, mm এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    f(x)=0f(x) = 0 সমীকরণের মূল দুটির অনুপাত rr হলে, দেখাও যে, (r+1)2r=b2ac\frac{(r+1)^2}{r} = \frac{b^2}{ac}

    (4)
  3. গ)

    g(x)=0g(x) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta হলে, qp−α\frac{q}{p-\alpha} এবং qp−β\frac{q}{p-\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 3x2−mx+4=03x^2 - mx + 4 = 0
    ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha এবং 3α3\alpha।
    মূলদ্বয়ের যোগফল, α+3α=−−m3  ⟹  4α=m3  ⟹  α=m12\alpha + 3\alpha = -\frac{-m}{3} \implies 4\alpha = \frac{m}{3} \implies \alpha = \frac{m}{12}
    মূলদ্বয়ের গুণফল, α⋅3α=43  ⟹  3α2=43  ⟹  α2=49\alpha \cdot 3\alpha = \frac{4}{3} \implies 3\alpha^2 = \frac{4}{3} \implies \alpha^2 = \frac{4}{9}
    α\alpha-এর মান বসিয়ে পাই,
    (m12)2=49  ⟹  m2144=49  ⟹  m2=4×1449=64\left(\frac{m}{12}\right)^2 = \frac{4}{9} \implies \frac{m^2}{144} = \frac{4}{9} \implies m^2 = \frac{4 \times 144}{9} = 64
    ∴m=±8\therefore m = \pm 8 (Ans.)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=ax2+bx+c=0f(x) = ax^2 + bx + c = 0
    ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha এবং rαr\alpha (যেহেতু মূল দুটির অনুপাত rr)।
    মূলদ্বয়ের যোগফল, α+rα=−ba  ⟹  α(r+1)=−ba…(1)\alpha + r\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(r+1) = -\frac{b}{a} \quad \dots (1)
    মূলদ্বয়ের গুণফল, α⋅rα=ca  ⟹  rα2=ca…(2)\alpha \cdot r\alpha = \frac{c}{a} \implies r\alpha^2 = \frac{c}{a} \quad \dots (2)
    (1) নং সমীকরণকে বর্গ করে পাই,
    α2(r+1)2=b2a2…(3)\alpha^2 (r+1)^2 = \frac{b^2}{a^2} \quad \dots (3)
    (3) নং সমীকরণকে (2) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
    α2(r+1)2rα2=b2/a2c/a\frac{\alpha^2 (r+1)^2}{r\alpha^2} = \frac{b^2 / a^2}{c / a}
      ⟹  (r+1)2r=b2a2×ac=b2ac\implies \frac{(r+1)^2}{r} = \frac{b^2}{a^2} \times \frac{a}{c} = \frac{b^2}{ac}
    ∴(r+1)2r=b2ac\therefore \frac{(r+1)^2}{r} = \frac{b^2}{ac} (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(x)=x2−px+q=0g(x) = x^2 - px + q = 0
    সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha এবং β\beta।
    ∴α+β=p\therefore \alpha + \beta = p
    এবং αβ=q\alpha\beta = q

    এখন, নতুন সমীকরণের মূল দুটি হলো:
    প্রথম মূল =qp−α=αβ(α+β)−α=αββ=α= \frac{q}{p - \alpha} = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta) - \alpha} = \frac{\alpha\beta}{\beta} = \alpha
    দ্বিতীয় মূল =qp−β=αβ(α+β)−β=αβα=β= \frac{q}{p - \beta} = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta) - \beta} = \frac{\alpha\beta}{\alpha} = \beta

    অতএব, নির্ণেয় মূলদ্বয় হলো α\alpha এবং β\beta।
    সুতরাং, মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
    x2−(α+β)x+αβ=0x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0
      ⟹  x2−px+q=0\implies x^2 - px + q = 0 (Ans.)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন